Van-e olyan Fibonacci-szám amelyik 2 olyan prímszám szorzata, amelyeknek hányadosa 1 és 2 közé esik?

Lehet, hogy mellétrafálok, de..

[link]

Szinte kizárt hogy erre létezzen egzakt válasz, de statisztikailag legalább azt meg lehet tippelni, hogy ez mennyire sanszos.

A Fibonacci-számok kb. aranymetszés^n szerint nőnek. A kettes alapú logaritmusuk így kb. n*log2(aranymetszés) ≈ 0.7*n.

Ha egy adott F_n teljesíti a félprímség kritériumát, akkor annak valószínűsége, hogy p és q aránya 1 és 2 közé essen, kb. 1/(0.7*n), mivel log2(p) + log2(q) = 0.7*n és |log(p) -

log(q)| < 1. Vizuálisan úgy képzelheted el, hogy egy 0.7*n hosszú szakaszt úgy vágjanak ketté, hogy a középső 1 egységbe essenek. Azt eltrafálni 1/(0.7*n) eséllyel fogják.

Továbbá azt kéne megtudni, hogy n függvényében mekkora a félprímek sűrűsége. [link] alapján elég drámaian ritkulnak, talán valami szibériai matematikus valaha talált rá egy aszimptotikus becslést, de ha mondjuk csak c/n szerint ritkulnak, már az is azt sejteti, hogy ha léteznek is a kritériumaidnak megfelelő Fibonacci-számok, akkor is csak véges sok darab:

Félprímség valószínűsége * megfelelő p/q arány valószínűsége = c/n * 1/(0.7*n) ami 1/n^2-tel arányos, aminek 1-től ∞-ig véges az integrálja. Tehát a Fibonacci-számok között véges számú ilyen eset van, és könnyen lehet, hogy konkrétan nulla. Az első 1000-ben egészen biztosan nincs ilyen ( [link] ) afelett pedig már baromi kicsi az 1/n^2 ereje, az integrál döntő része már a háta mögött van.

A statisztikai megközelítésre itt egy másik ötlet, fordított logikával.

Mekkora az esélye, hogy egy adott x szám:

- egyrészt prím

- másrészt találunk hozzá egy olyan, nála legfeljebb kétszer nagyobb prímet, mellyel vett szorzata Fibonacci-szám?

Ha ezt minden x-re kiszámoljuk és összegezzük, akkor megkapjuk, hogy megközelítőleg hány Fibonacci félprím létezhet.

1) A prímek sűrűsége x környezetében 1/log(x), tehát ekkora a valószínűsége, hogy x épp egy prím.

2) Az (x,2x) intervallumban nagyjából x/log(x) prím található, tehát ennyi párt próbálhatunk ki x-szel.

3) A Fibonacci-számok sűrűsége (azaz a találat valószínűsége) x^2 környezetében Φ^(-x^2), ahol a Φ az aranyarány. Azért x^2 környezetében nézzük, mert x és egy x-nél nagyobb szám szorzata legalább x^2.

Tehát adott x esetében a fenti három tényező szorzata alapján a találat valószínűsége x/log^2(x)*Φ^(-x^2). Ez egy nagyon gyorsan, közel a haranggörbe sebességével csökkenő függvény, és már ránézésre is látszik, hogy az első pár tucat elem után gyakorlatilag semmi esély a találatra. Tehát ha a fenti link szerint az első ezer Fibonacci-szám között nincs megfelelő, akkor afelett 99,9999...% hogy nem is lesz.

5-ös vagyok és javítanom kell valamit mert benéztem a 3)-as pontot. A Fibonacci-számok sűrűsége x^2-nél 2/x^2, így az 1-2-3) pontok szorzata 2/(x*log^2(x)). Ennek az integrálja -2/log(x) + c, ami még mindig véges, de nem cseng le olyan gyorsan.

Az 1000-es Fibonacci listára visszatérve, nincs köztük 1<p/q<2 félprím, de ez csak az első ezer, ami úgy puffant, ahogy. Az 1000. szám négyzetgyöke 2*10^104, az integrál innentől a végtelenig 2/log(2*10^104) = 0.0083, ennyi a kritériumaidat teljesítő Fibonacci-számok várható értéke az 1001-ediktől a végtelenig. Ez azt jelenti, hogy 0.83% az esélye, hogy a van ilyen.

Ami még mindig kicsi, de legalább nem lehet olyan magabiztosan kizárni, mint ahogy az első téves kommentemben állítottam.

--

Ha általános képletet akarunk, ahol 1 < p/q < m, azt a 2)-es pontot (m-1)x/log(x)-re módosítva lehet megcsinálni, amivel a végső integrálfüggvény -2(m-1)/log(x) + c lesz. Ez nem túl meglepő, ha ötször akkora intervallumot engedsz p/q-ra, akkor várhatóan ötször annyi megfelelő Fibonacci-félprímet fogsz találni.