Négyzetszámok különbsége gyakran prím?

Gyakran? Relatív meghatározás.

Szerintem nem.

49-25 nem prím

66-16 nem prím

100-36 nem prím

szomszédos számok négyzeteinek különbsége gyakran prím.

(x+1)^2 - x^2

3,5,7,9,11,13,15,17 az első 8-ból 2 nem prím

Hát, a páros számok négyzeteinek különbsége helyből kompletten kiesik ugyebár, mert az mind szintén páros.

De sebaj, vannak itt még jópofa, nem cáfolt és nem bizonyított sejtések.

Például : minden két szomszédos négyzetszám közt van minimum egy prímszám.

A Riemann-sejtés kompletten már durvább, de jól el lehet vele szórakozni.

Nem is értem, hogy eddig miért nem jött bizonyítás a problémafelvetésre, annyira egyszerűen levezethető alapvető lépésekkel.

Legyen a két négyzetszám x^2 és y^2 ahol x^2>y^2, ekkor x^2-y^2 prím mivolta a kérdés. Ez a különbség a tanultak szerint felírható (x-y)*(x+y) alakra, tehát kapásból 4 osztót tudunk mondani a kifejezéshez; 1; x-y; x+y; x^2-y^2, értelemszerűen ez csak úgy lehet prím, hogyha a középső kettő közül az egyik (értelemszerűen a kisebb) 1, a nagyobbik prím, tehát:

x-y=1

x+y=p, ahol p prímszám. Ezt az egyenletrendszert meg tudjuk oldani;

ha összeadjuk a két egyenletet: 2x=1+p, tehát x=(1+p)/2

ha kivonjuk: 2y=1-p, vagyis y=(p-1)/2

Gyakorlatilag azt kaptuk, hogy a 2-t kivéve minden prímszámhoz tudunk pontosan egy különbséget adni; például ha azt akarjuk, hogy a különbség 5 legyen, akkor x=(1+5)/2=3, y=(5-1)/2=2, tehát a 3^2-2^2=9-4 különbséget kerestük.

Kombinatorikai módszerekkel az is megadható, hogy ha veszünk két négyzetszámot N-ig (vagyis x^2<y^2<=N), akkor azok különbsége milyen valószínűséggel lesz prímszám. Intuitíven persze lehet érezni, hogy ha N->végtelen, akkor ez a valószínűség a 0-hoz fog tartani.

Csináltam rá gépi képalkotást, hogy mégis mennyire gyakori.

A képeken nem csak kb találomra vannak berakva a fekete pixelek hanem pontos számítás útján. Minden pixel meg van feletetve egy számpárnak, méghozzá az x és y koordinálta szerint. A pixeltérben szokásos módon jobb oldalra haladva nőnek az x koordinálták, az y koordinálták pedig lefele haladva növekednek.

Ott ahol x^2 - y^2 az prím ott fekete pixel van, mindenhol máshol meg fehér. A képek 500x500 pixel méretűek.

A koordinálta rendszert minden esetben eltoltam. Itt a bal felső sarok a (2,1) koordinálta : [link]

Itt a bal felső sarok az (505, 504) koordinálta : [link]

Itt a (4005, 4004) koordinálta : [link]

Itt ugrok egy nagyott, a bal felső sarok az (500 000 004, 500 000 003) koordinálta: [link]

Úgy van minden esetben eltolva a koordinálta rendszer, hogy a bal felső pixel fekete legyen. Ha ez nem így lenne hanem random módon lenne eltolva a koordinálta rendszer és ez meg lenne ismételve sokszor akkor túlnyomó részt teljesen fehér képeket kapnánk.