1 per gyök 2 miért ugyanannyi mint gyök 2 per 2?

Oké, nézzük:

1 / √2

Szorozzuk meg az egészet 1-el. Ettől nem fog változni az értéke:

1 * (1 / √2)

Ugye talán könnyen belátható, hogy √2 / √2 = 1. Hiszen ugyanazt a számot osztjuk ugyanazzal. Ergo az 1 helyére beírhatjuk nyugodtan a √2 / √2 -t is:

(√2 / √2) * (1 / √2)

Oké, most szorozzuk össze a két törtet. Ugye ez úgy történik, hogy a számlálókat és a nevezőket külön-külön összeszorozzuk:

(√2 * 1) / (√2 * √2)

A számlálóban az 1-el való szorzást elhagyhatjuk:

√2 / (√2 * √2)

A √2 * √2 meg ugye 2-vel egyenlő. Hiszen egy szám négyzetgyöke az, amit négyzetre emelve a számot kapjuk. √x az a szám, aminél (√x)² = x, ha úgy tetszik, akkor √x * √x = x.

√2 / 2

~ ~ ~

De nézhetjük fordítva is:

√2 / 2

Írjuk fel kicsit máshogy:

√2 / (√2 * √2)

Egyszerűen egyszerűsítsünk √2-vel, azaz a számlálót és a nevezőt is osszuk el √2-vel:

(√2 / √2) / (√2 * √2 / √2)

(1) / (√2)

1 / √2

~ ~ ~

Ilyen esetben felejtsd el a számológépet. A √2 irracionális szám, végtelen tizedes tört. A számológép meg véges számjegyekkel számol. A számológéppel maximum azt tudod meg, hogy egy bizonyos pontosságon belül egyenlőek. De ezt tudtad eddig is, hiszen nem azt kérdezted, hogy egyenlőek-e, hanem hogy miért. Viszont ha számológéppel kiszámolod, attól még nem fogod érteni, hogy miért.

Sü válaszát nem igazán tudom hova tenni, ilyen hosszan ecsetelni egy tört bővítését inkább (béna) komédiának tudom elképzelni, ahol a szereplők csinálnak valamit ami kínos (mondjuk sokáig ugyanazt a valamit), és a nézőnek is kínos, ezért ő is röhögcsél.

Mindenesetre: ez az arány megegyezik egy négyzet oldalának és átlójának arányával. Egy 1 oldalú négyzet átlója sqrt(2), egy sqrt(2) oldalú négyzet átlója 2, QED.

Lásd ábra: [link]

A másik az, hogy ha a gyök(2)-t formális szimbólumnak tekinted, akkor tekintheted az a+b*sqrt(2), vagy mondjuk az (a+b*sqrt(2))/(c+d*sqrt(2)) alakú számokat. Ahol az együtthatók tipikusan racionális vagy valós vagy komplex vagy akármi számok.

Nagyjából ugyanúgy, ahogy a komplex számoknál megszokta az ember (ha megszokta).

Az ilyen alakú kifejezések között sok összefüggés teljesül, ezért nem kell meglepődni azon, hogy ha két tört úgy egyenlő, hogy az egyikben a számlálóban, a másikban a nevezőben van a sqrt(2) szimbólum.

Talán majd fogsz/már vetted matekból azt a zseniális témakört hogy nevező gyöktelenítése (mindenki nagyon szokta szeretni). Ha vetted már, akkor azt is jó, ha az emlékezetedbe idézed.

Ott nem csak irracionális számmal való törtbővítés fordul elő, de, még a+b*sqrt() alakú számokkal való bővítés is.