Van-e értelme nem egész számokat maradékosan osztani?

Szoktak, de általában nem ilyen fejben/papíron számolgatós módszerekkel (bár mondjuk manapság ez szinte minden műveletre igaz), hanem pl. sima számológépben.

Értelme igen is sok van, pl.: 3x=7,2 ha nem törődnénk a maradékkel, akkor nem kapnánk pontos eredményt.

Hogy a matematikában mennyire szokták ezt így használni, azt nem tudom. De összességében van értelme, illetve kiterjeszthető – törvény nem tiltja – a maradékos osztás a valós számokra is, csak megfelelően kell definiálni a műveletet.

Sőt még úgy is ki lehet terjeszteni, hogy az osztó sem egész szám. Például: 0,7 / 0,3 = 2; és maradt 0,1.

Mondjuk valahogy úgy terjeszthető ki a művelet, hogy:

m := a (mod b)

vagy az informatikában elterjedt jelöléssel: m := a % b

Ahol érvényesek az alábbi feltételek:

a = b * n + m

a,b ≠ 0

n ∈ ℤ

|m| < |b|

(Egész számok esetén csak annyi történik, hogy a,b ∈ ℤ . A te példádnál meg csak annyi, hogy b ∈ ℤ .)

De összességében a maradékos osztást általában az egész számok körében szoktuk használni.

Például trigonometriában szokás azt, hogy x=pi/2+n*2pi úgy rövidíteni, hogy x kongruens pi/2 modulo 2pi. Egész számból itt nem sokat találsz...

Sokkal mélyebben, amit meg kell tanulnod, érdemes is lenne Péter Rózsa Játék a Végtelennel c. könyvét elolvasnod: a matematikában nincsenek abszolút igazságok. Két matematikus találkozik és azt mondja, én úgy képzelem el a pontokat és egyeneseket, hogy bármelyik két ponton át lehet egy egyenest húzni. Megállapodnak néhány ilyen elképzelésben és abban, hogy mit fogadnak el helyes érvelésnek mindezt azért, mert akkor érdekes dolgokat tudnak levezetni.

Gondolj bele, amikor tanulod a negatív számokat. Ha van két almám, és adok neked egyet, akkor marad egy. És ha most adok neked kettőt? Hát azt ugye nem lehet. De ha számokról beszélünk, akkor nagyon is hasznos ha az 1 számból igenis le tudunk venni kettőt. Ebben nincs semmi természetes, abszolút vagy bármi -- megegyezünk abban, hogy elfogadjuk, hogy ezt lehet, megegyezünk, hogy milyen műveleteknek kell megfelelnie és az így létrejött eredményt elkereszteljük mínusz egynek.

Max(D) mindig létezik, de nem szokás hányadosnak nevezni.

Maradékos osztást nullosztómentes gyűrűn lehet definiálni (már amelyiken lehet). Szükség van hozzá egy szubmultiplikatív nemnegatív egészértékű f függvényre. Akkor kapunk a függvényünkből maradékos osztást, ha a gyűrű bármely két k,l (l nem nulla) elemére léteznek olyan p,q gyűrűbeli elemek, hogy k=l*p+q és f(q) kisebb, mint f(l).

A te példádban nem egészértékű a függvény.

Ezt nem hasraütésszerűen kiáltottuk ki nevezetes fogalomnak. Ez kell ahhoz, hogy működjön az euklideszi algoritmus. (Több nyelven eleve euklideszi osztásnak hívják a maradékos osztást). Az euklideszi algoritmust sok számelméleti tétel bizonyításánál használjuk. Ha beláttunk egy tételt az egész számokra az euklideszi algoritmussal, az igaz lesz más gyűrűkben is, ahol létezik euklideszi algoritmus. De legtöbbször nem lesz igaz olyan gyűrűkre, ahol nincs euklideszi algoritmus. Azzal, hogy a maradékos osztás fogalmát megalkotjuk és nevet adunk neki, azt tesszük lehetővé, hogy ne csak azt tudjuk elmondani, hogy ebben az X gyűrűben igaz ez, ezzel a bizonyítással... az Y gyűrűben is, ugyanazzal a bizonyítással... a Z gyűrűben is, ugyanazért... Hanem azt tudjuk mondani, hogy igaz az összes olyan gyűrűben, ahol van maradékos osztás (az ilyen gyűrűket hívjuk euklideszi gyűrűnek).

Vedd észre, hogy a maradékos osztás definíciójában nem használod fel sehol, hogy egész számod lenne, csak annyit, hogy valósak:

Van egy 400.03 méteres futópályád, meg egy futó, aki megtett 12345.67 métert; hány kört futott, és mennyi a maradék? Lényeges-e, hogy egészek a számok?

( [link] )

Vedd észre azt is, hogy a maradékos osztás nem különbözik attól, mintha elosztanád simán, és külön néznéd a tört- és az egészrészét az eredménynek. (pl számelméletben nagyon gyakran előjön)

Azt is vedd észre, hogy az algoritmus sematikusan egy darab elöltesztelő ciklus: lépegetsz, és ha túllépnél, nem lépsz többet. Ez a gondolat nagyon sok algoritmusban előjön.

Ahogy az is igaz, hogy ha az eredményből csak a maradék érdekel, akkor az egyik legáltalánosabb matematikai konstrukció, a faktor(algebra)képzés egy speciális esetét kapod meg. Kb annyira alapvető, mint az összeadás a számokon. (például az euklideszi szögösszeadás R/2pi ~ S^1 szerint történik. Ez nem az osztás, csak a maradék vétele)

Stb.

Igen, van értelme, szoktak ilyet csinálni a matematikában.

Én a műveletet úgy terjeszteném ki, hogy fogom a meglévő maradékolást, azt mondom rá, hogy egyes alapú. Ez azt jelentené, hogy hányszor 1 marad a két valós szám osztásakor.

Például 7/6=1 és maradt az 1.

Mondhatnám azt is, hogy a maradék számítás kettes alapú, és az azt jelentené, hogy hányszor marad meg 2 az osztás után.

PL 7/6= 1, és maradt fél, mivel 1 maradék alappal 1 maradna, kettő maradékalappal fél marad, azaz 1/2.

0,5 alapú maradékolás esetében például: 7/6=1 maradt 2( =1/0,5)