Igaz-e, hogy minden |fi|: R2 --> R2 lineáris leképezésnek van valós sajátértéke? Inkább a miértre lennék kíváncsi, vagyis, hogy mikor nincs?

Nem igaz. Például a forgatás egy adott pont körül. Ez minden vektort egy másik irányú vektorba visz át, tehát nincs neki sajátvektora, így sajátértéke se.

Másféle bizonyíték: R2-ben a sajátérték-egyenlet másodfokú, aminek nem mindig van valós gyöke.

Harmadfokúnál mindig van legalább egy valós gyök, tehát az R3->R3 leképezéseknek legalább egy valós sajátértéke mindig van.