Mit jelent a lineáris leképezés?

A lineáris leképezés egy olyan leképezés két vektortér között, amelyre érvényes a (homogén) linearitás két szabálya, vagyis hogy egy vektor számszorosát ugyanazon számszorosára képezi le, illetve vektorok összegének képe a képek összege.

Olyan, mint a főzés: pl. kétszer annyi vízből, húsból és zöldségből kétszer annyi húslevest tudsz készíteni, és ha Kati néni és Mari néni is összedobja azt, amije van, akkor az ebből elkészíthető húsleves éppen annyi lesz, mintha külön-külön főznének, és a végén összeöntenék a két adagot.

Remélem, ez eléggé konyhanyelven volt. :D

Gondolj az origón átmenő egyenesre. Ez az x tengely pontjait képezi le az y tengelyre:

y=mx

Most vegyünk két x értéket, legyenek x_1 és x_2, majd vegyük valamilyen kombinációjukat: ax_1+bx_2. Nézzük ennek képét. Először nézzük, mit tudunk x_1 és x_2 képéről:

y_1=mx_1

y_2=mx_2

Most nézzük a kombinációjuk képét:

y=m(ax_1+bx_2)=max_1+mbx_2=amx_1+bmx_2=ay_1+by_2.

Jé, az értékek kombinációjának képe az értékek képének kombinációja. Ez olyan gyakori, hogy minden így viselkedő leképezést lineárisnak neveznek.