Lineáris leképezés! Valami érthető magyarázot tudnátok javasolni?

[link]

[link]

egyébként egyszerű: legyen A: T^n -> T^k fgv. Tehát ez minden n magas oszlopvektorhoz hozzárendel egy másik k magasat. (itt T test, pl valós számok)

Egy ilyen fgv lineáris, ha A(v+u)= A(v) + A(u), illetve A(a*v) = a*A(v). Tehát két vektor képét megkaphatod a képek összegeként, illetve a skalárszoros képét a kép skalárszorosaként. Ez ilyen leképezések halmaza Hom(T^n,T^k). Később pedig egy tétel kimondja, hogy minden Hom(T^n,T^k) beli lináris leképezéshez tartozik pontosan egy mátrix, melyre [A]*v=A(v). És fordítva is, minden k x n -es mátrixhoz tartozik egy lineáris leképezés.

Van egy bevált módszer, azok részére, akik tényleg érteni akarják.

Legjobb az ℝ²↦ℝ² leképezések vizsgálata, vagyis a sík síkra/egyenesre való leképezéseinek szemléltetése. Egy kockás papírra (GeoGebra is használható) lerajzoljuk néhány rácspontpont képét és akkor látható, hogy a négyzetek valamilyen paralelogrammává transzformálódnak. A rajzon azonnal látszik és teljesen érthető, hogy mit jelentenek a sajátértékek és sajátvektorok.

Az ℝ³↦ℝ³ leképezéseket persze nehezebb szemléltetni, de

az egybevágósági, vagy

ℝ³↦ℝ² ill. ℝ³↦ℝ (szinguláris) és egyéb egyszerű eseteket könnyű elképzelni és a sajátértékek, sajátvektorok jelentése és jelentősége is világos lesz.