Mire jó egy adott 'A' mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak ismerete? Tudnátok esetleg említeni néhány gyakorlati alkalmazást? (Műszaki, gazdasági. Stb. )

Pl. differenciálegyenlet-rendszerek megoldásánál szükséges.

Ha tanultatok már diffegyenletet, akkor ez ismerős lesz:

y' = a·y

Ez az egyik legegyszerűbb diffegyenlet, a megoldása:

y = c·e^(ax)

A gyakorlatban sokszor nem egyetlen változó (x) szokott lenni, úgyhogy diffegyenlet-rendszerek jönnek elő:

y' = A·y

itt most az y fölött képzelj el vektor-vonalat, az A pedig mátrix.

Ennek a megoldása nagyon hasonló a simához, csak vektor lesz:

y = v·e^(rx)

ahol v egy vektor, r skalár.

Na most v éppen az A mátrix sajátvektora, r pedig a sajátértéke (ne menjünk most bele hogy miért, bár nagyon egyszerű).

Diffegyenlet-rendszerek persze mindenhol előjönnek, pl. mechanikában egy több-szabadságfokú rendszer mozgásegyenlete (m·x'' = -k·x), kvantummechanikában a Schrödinger egyenlet, stb. Szerintem gazdasági területen is, gondolom gazdasági rendszerek dinamikus viselkedésénél biztos kellenek diffegyenlet-rendszerek. De hogy informatikáról is legyen szó, olyan új dolgoknál, mint az arcfelismerés is előjön diffegyenlet nelkül is a sajátérték: ott az "eigenface"-eket ("saját-arc") szokták használni információ tömörítésre (tanulásra); ezek egy valószínűségi mátrix (kovariancia mátrix) sajátvektorai.

Mire jó? Mire jó az alapkutatás? Konkrét, kézzelfogható haszna többnyire nincs. Mégis, ha megszüntetjük az alapkutatást, az az ország bizonyos idő után elsorvad. Szóval mégis van haszna, csak nem ilyen direkt módon.

A tudományok egymásra épülnek. Kezdetben egy ember nemcsak matematikával, de sok más tudománnyal is foglalkozott egyszerre. Newton egyszerre volt fizikus és matematikus. Ahogy a dolgokat egyre mélyebben megismerjük, fokozódik a munkamegosztás. Ma már egy ember nemhogy matematikával, de annak csak szűk ágával foglalkozik. A többiről "tud", de nem tudja mélyrehatóan alkalmazni.

Ezért egyre inkább a hierarchiában minden részlet megismerésére nincs idő, nincs mód. Elfogadod, hogy szükséges csavarja a rendszernek, mert mások - akik ezzel foglalkoznak - nem véletlenül, nem "a hallgatók bosszantására" találták ki, hanem a dolognak alapvető építőkocka szerepe van a bonyolultabb rendszerekhez.

Például a differenciálegyenletek megoldásához. Ma komplex programok vannak, amelyek helyetted végzik a számolást, majd értelmezik, "bemutatják" az eredményt (MATLAB például). Számos analízisbeli, funkanalos, de algebrai feladat nem oldható meg kézzel, numerikus módszerekkel számolják gyors gépek. A numerikus módszer egy algoritmus, egy technológia. Nagy társadalmi gazdasági folyamatok leírására modelleket gyártunk, és statisztikai módszerekkel számolunk. Mátrixok itt is gyakran előfordulnak, valamely több paraméteres jelenséget írnak le. A sajátvektor, sajátérték (egy matematikai modellezési folyamat eredményeként) egy technológia, amely a numerikus számításoknál nélkülözhetetlen ahhoz, hogy választ kapjunk mondjuk egy mátrixösszefüggések által leírt gazdasági (fizikai, biológiai, de még társadalmi szociológiai is) jelenségre. A gyakorlati alkalmazása az, hogy nélküle béna kacsa vagy, ha kicsit is bonyolultabb folyamattal akadsz össze. Például azzal, milyen turbulenciájú, sodrású folyóba érdemes fejest ugrani azzal a nem titkolt céllal, hogy kiúszunk a partra.