Milyen méretei vannak a legkisebb felszínű 1 dm3 térfogatú henger alakú konzervdoboznak?

Itt van egy nagyon részletes számolás (angolul) deriválást használva, ha az jó neked:

[link]

Ő V=350-re számolja, neked V=1/1000 kell, kövesd végig.

Vagy, ha bennhagyod V-t, le tudod vezetni, hogy h=2R esetben van minimum, így

> V = (2R)*(R^2)*pi

az adott V-hez tartozó, A-ban minimális R-re a képlet.

Ha csak az eredmény érdekel:

> R = 3th root of ((V)/2 pi) * 10

~= 0.542 dm

> h = 3th root of ((V)/2 pi) * 10 * 2

~= 1.08 dm

(a képletet be tudod másolni a google keresőbe, és kiértékeli neked, V=1/1000 -rel)

Más gondolatmenet is használható: a feladat fogalmazható úgy is, hogy adott A felszín esetén a V térfogat milyen H/R arányra maximális.

Mivel A=2RpiH+2piR^2, ezért H=A/(2piR)-R.

Ezzel a térfogat: V=piHR^2 miatt az

V=RA/2-piR^3 alakú. A derivált zérus voltából:

A/2-3piR^3=0.

A helyébe visszaírva a 2RpiH+2piR^2 formulát azonnal adódik hogy:

H/R=2.

Érdekes lehet a számítást elvégezni nyitott tetejű konzervdobozra is, ezt a kérdezőre bízom.