Minden kettőre végződő négyzetszám páratlan?

Az utolsó számjegy a szám 10-es maradéka. Ha van egy számod, amit 10*n + k alakú (n és k egészek), azaz k maradékot ad, akkor a négyzete,

100*n^2 + 20*n*k + k^2 = 10*(10*n^2 + 2*n*k) + k^2,

k^2 maradékot fog adni, mivel a zárójelbe írt szám is egész.

k lényegében 10-féle lehet, így elég 10 esetben megnézni k^2 végződését, hogy a négyzetszámok lehetséges végződéseit megkapjuk:

0 --> 0,

1 --> 1,

2 --> 4,

3 --> 9,

4 --> 6,

5 --> 5,

6 --> 6,

7 --> 9,

8 --> 4,

9 --> 1,

azaz egy négyzetszám csak a 0, 1, 4, 5, 6, 9 számjegyek valamelyikére végződhet.

#16:

Köszönöm, erre gondoltam.

Nem találtam hirtelen jobb ötletet, mint az összes lehetőségen végigvitt vizsgálat, ezek szerint tényleg csak az van.

Nem csak ez van, csak talán erre a legegyszerűbb rájönni, és nem is olyan hosszú. De például ha észrevesszük, hogy csak úgy végződhet 2-re egy szám, ha 5-tel osztva 2 maradékot ad, akkor már elég feleennyi esetet vizsgálni, nem kell az „összeset”:

0 --> 0,

1, –1 = 4 --> 1,

2, –2 = 3 --> 4.

(Itt az egyenlőség az 5-ös maradék szempontjából értendő.)

Közben eszembe jutott egy frappáns válasz a második válaszoló felvetésére:

> „Én ezt nem értem... Egy kettőre végződő szám hogy lehet páratlan?”

Nem egy (1 darab) kettőre végződő szám a páratlan az állítás szerint, hanem pontosan nulla (0).