A pozitív egész számok hány százalékának van pontosan 8 osztója?

Megkockáztatom, hogy a végtelenhez tartva ez a szám gyakorlatilag azonos lesz minden meghatározott darab osztójú számra, szerintem nyugodtan veheted ugyanazt az értéket, ami a prímek százalékaránya.

(nem esküdnék meg rá, de gyanítom, hogy az első válasz szerint ez is nullához tart).

Az x-nél kisebb prímszámok száma meglehetősen pontos megközelítéssel x/ln(x) -nek adódik. Tehát a prímszámok aránya x-ig (x/ln(x)) / x = 1/ln(x). Ebből ugye lim[x→∞] 1/ln(x) = 0. Ergo Wadmalac ezen megállapítása helyesnek tűnik, a lepontozása meg indokolatlannak.

A 8-al való oszthatóság, mint feltétel véges számú prímtényező kombinációját jelenti, és itt mindegy is, hogy valódi osztókról van szó, vagy a szám önmaga és az 1 is osztónak számít-e, de a prímszámok arányának valamilyen szorzata, hatványa lesz ez a szám, valószínű kellően nagy x-ig kevesebb pontosan 8 osztóval rendelkező szám van, mint ahány prímszám, így logikusan lehet sejteni, hogy a végtelen számhoz közelítve x-et ez 0% felé konvergál.

Pontosabban is lehetne számolni bizonyára, de részben szerintem felesleges, részben ehhez tudni kellene, hogy itt valódi osztókról van-e szó.

Hmmm… Meglehet igazad van.

Vegyük sorra a prímtényezős alakokat. Ha valaminek pontosan 8 osztója van, akkor pontosan 6 valódi osztója van (hiszen önmaga és az 1 nem valódi osztó):

Nézzük, ha a prímtényezős alakban csak első hatványú prímek szerepelnek:

a → 0 valódi osztó (prímszámról van szó)

ab → 2 valódi osztó (a, b)

abc → 6 valódi osztó (a, b, c, ab, ac, bc)

minden más 6-nál több valódi osztót ad

Nézzük mi a helyzet, ha legalább egy prímtényező második hatványon szerepel:

a² → 1 valódi osztó (a)

a²b → 4 valódi osztó (a, b, a², ab)

a²bc → 10 valódi osztó (a,b,c,a²,ab,ac,bc,a²b,a²c,abc)

a²b² → 7 valódi osztó (a,b,a²,ab,b²,a²b,ab²)

minden más 6-nál több valódi osztót ad

Nézzük a harmadik hatvány esetét:

a³ → 2 valódi osztó (a,a²)

a³b → 6 valódi osztó (a,b,a²,ab,a³,a²b)

minden más 6-nál több valódi osztót ad

Még egy eset maradt:

a⁷ → 6 valódi osztó (a,a²,a³,a⁴,a⁵,a⁶)

Tehát 6 valódi osztóval, azaz pontosan 8 osztóval rendelkező formációk: abc, a³b, a⁷.

Valahogy azt kellene kiszámolni – most sajnos nincs rá több időm –, hogy egy adott n-ig hány prímszám van (ez egyszerű). Ezek hányféleképpen kombinálhatók egy adott formációban. Ez is egyszerű. Ebből hány ad n-nél nagyobb eredményt. Itt még gondolkodnom kell. a⁷ esetén a dolog triviális, de a másik két formációnál át kellene gondolnom. Ebből lehetne egy konkrét valószínűségi képletet számolni, és azt megnézni, hogy ez hova konvergál, ha n végtelen felé tart.