Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik a 9999-nek többszöröse, és nem tartalmaz kettesnél nagyobb számjegyet?

Nem teljes megoldás, csak ötletnek vegyed:

Az n*9999-ben n utolsó számjegye csak 8 vagy 9 lehet. (0 is lehet persze, de annak nincs értelme, annál tuti van rövidebb.)

Ha kiszámoljuk azt, hogy [(10^n-1)/9] / 9999, vagyis azt, hogy n darab 1-es osztva 9999-cel, akkor ilyesmit kapunk:

1111222233334444555566667777888900001111 stb.

Na most ha egy ilyesmi számmal viszaszorzok, akkor ez pl. a feltételnek megfelelő lesz:

11112222333344445555666677778 * 9999 = 111 111 111 111 111 111 111 111 111 102 222

Aztán ha veszem n darab 2-essel ugyanezt, vagyis 2*[(10^n-1)/9] / 9999, abból ez lesz:

22224444666688891111333355557778000022224444 stb.

Ilyenkor sokkal rovidebbel is eleg visszaszorozni:

2222444466668888 * 9999 = 22 222 222 222 222 211 112

Kis próbálgatással kijön még a kettő kombinációjával egy még kisebb is:

1111333355557778 * 9999 = 11 112 222 222 222 222 222

De nem tudom, van-e rövidebb...

bxxxxxxd * 9999

d = 8 vagy 9 lehet, mert csak úgy lesz az utolsó számjegy 2 vagy 1

= bxxxxxxd * (10000 - 1) =

  bxxxxxxd0000

- 0000bxxxxxxd

A végső 0000-ból az utolsó 4 számjegyet vonjuk le, ezért abból a 4 számjegyből (xxxd) az első 3 (xxx) csak a 7,8,9 valamelyike lehet.

Az első számjegy b=1 vagy 2 lehet, sőt, az első 4 számjegy is olyan kell legyen:

bbbbxxxxxxhhhd0000

- 0000bbbbxxxxxxhhhd

Itt tehát b=1/2; h=7/8/9; d=8/9

(d-ből lejön egy átvitel, ezért praktikusan a hhhd alatti xxxx szempontjából d-1 = 7/8-nak tekinthető az utolsó számjegy.)

Biztosítani kell, hogy az egymás alá kerülő számjegyek különbsége max 2 legyen, ezért középen az x-ek fel kell nőjenek b-ről h-ra, vagyis legfeljebb 2-ről legalább 7-re.

bbbbppppqqqqhhhd0000

- 0000bbbbppppqqqqhhhd

Vagyis p legfeljebb b+2 lehet, és a túlsó végén hasonlóan q is legalább h-2 kell legyen.

Az utolsó hhhd csoport optimális esetben 7778.

Az egymást követő 4-es számjegy-csoportok számjegyei max kettesével nőhetnek.

Ezekből a legkisebb az 1-3-5-7 sorozat, ami felmegy 7-ig. (A 2-4-6-7 is ugyanolyan hosszú.)

Tehát a legkisebb jó szám ez:

1111333355557778 * 9999

Kihagyta a gyk.hu a sor eleji szóközöket. Ilyen akart lenni:

  bbbbppppqqqqhhhd0000

- 0000bbbbppppqqqqhhhd

Vagy inkább ilyen :)

   bbbbppppqqqqhhhd0000

- 0000bbbbppppqqqqhhhd