Integrál. Konvergál?

Ha tudunk adni két függvényt, hogy azoknak az adott intervallumon vett integráljuk véges, és tetszőleges x-re az azok által határolt területre esik a függvény alatti terület, akkor biztos, hogy véges.

Nem nehéz kitalálni, hogy tetszőleges x>=1-re

1/x^2>=(sin(1/x))^(2/3)*cos(sqrt(x)))/x^2 |*x^2

1>=sin(1/x))^(2/3)*cos(sqrt(x)), ez pedig értelemszerűen igaz, mivel a szorzat mindkét tényezőjének értéke legfeljebb 1, tehát szorzatuk is legfeljebb 1 lehet.

A másik függvény meglepetésre a -1/x^2 lesz:

-1/x^2<=(sin(1/x))^(2/3)*cos(sqrt(x)))/x^2 |*x^2

-1<=sin(1/x))^(2/3)*cos(sqrt(x)), ugyanaz a történet, mint már fent leírtam.

Tudjuk, hogy 1/x^2 integrálja véges az [1;végtelen) intervallumon, értelemszerűen -1/x^2-re is ugyanez igaz lesz, ez azt jelenti, hogy a fenti függvény integrálja kisebb, mint a két függvény által határolt sík területe, vagyis 2*int(1/x^2) dx 1-től végtelenig, ami 2.