Egy ilyen vektormezős feladatnál tul. Képpen mit számolunk ki?

Igen, a lényeg az, hogy találj egy olyan f: R^2 -> R függvényt, aminek az x szerinti parciális deriváltja x+y, az y szerinti parciális deriváltja pedig x-y. Azért van vektoros alakban megadva, mert egy kétváltozós skalárértékű függvénynek egy vektormező a deriváltja, ne tévesszen meg, ez ugyan azt jelenti, mintha az lenne odaírva, hogy v(x, y)=(x+y, x-y). Miért kellene dx-nek, meg dx-nak szerepelni? Egyváltozós esetben, amikor integrálunk (határozatlan), tulajdonképpen egy olyan függvényt keresünk, aminek a deriváltja az adott függvény, ott sincsenek dx-ek meg dy-ok.

Megoldás:

Tudjuk, hogy az f x szerinti deriváltja x+y. Ezt x szerint parciálisan integráljuk: x^2/2+xy+c(y). Ezt deriváljuk y szerint: x+c'(y) Tudjuk, hogy c'(y)=-y, ebből c(y)=-y^2/2+b.

Tehát az f(x, y)=x^2/2-y^2/2+xy+d függvény jó lesz.

Más szóval úgy mondják ezt, hogy keresni kell egy függvényt, melynek gradiense (x+y, x-y).

Tehát a függvény parciális deriváltjai x+y és x-y. Legyen a primitívfüggvény F(x,y). Ekkor:

dF(x,y)/dx = x+y, ebből: F(x,y) = 1/2*x^2 + xy + a(y). Az a(y) a végén az integrálásnál szokásos konstans szerepét tölti be, de nem kell valójában konstansnak lennie, elég ha csak y-tól függ. Hiszen annak x szerinti deriváltja úgyis 0 lesz.

Ugyanígy dF(x,y)/dy = x-y, amiből F(x,y) = -1/2*y^2 + xy + b(x).

Innen már csak azt kell kitalálni, hogy minek kell lennie az a(y)-nak és b(x)-nek, hogy F(x,y) mindkét kiszámolt alakja azonos legyen. Ugye nyilván a(y) = -1/2*y^2 és b(x) = 1/2*x^2.

Tehát a potenciálfüggvény: F(x,y) = 1/2(x^2 - y^2) + xy

Azt azért hozzá kell tenni, hogy amit most kiszámoltatok, azt úgy hívják hogy skalárpotenciál.

Mert egyébként a következő kérdés akkor akár az is lehetne, miért beszélünk skalár- és vektorpotenciálról?

Miért potenciál mindkettő, mikor az egyik vektor?

Na erre már viszonylag kevés ember tud szemléletes magyarázatot adni...

> De akkor miért vektorként van felírva a függvény, s miért nem dx, dy szerepel a kifejezésben?

A dx, dy lineáris közelítést, vagyis vektort jelentenek.