Igaz-e, hogy minden természetes számra n^2+2^n inkongruens mod6 (illetve mod7 esetén is)?

Ha pár számot behelyettesítesz, akkor a kapott eredményből már tudsz következtetéseket levonni (bár lehet ezzel nem segítettem).

Annyira utáltam mindíg az ilyen példákat....

A maradékok periodikus változását kell kihasználni.

6 esetén: először is zárjuk ki a páratlan számokat. A páratlan szám négyzete páratlan, míg a 2^n páros, így az összeg páratlan, ami nem lehet osztható 6-tal. A páros számok négyzeteinek hármas maradéka úgy változik, hogy 0; 1; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 1...

Kettő páros hatványainak hármas maradéka pedig mindig 1. Vagyis az összeg hármas maradéka csak 1 vagy 2 lehet, vagyis nem osztható hárommal, így hattal sem.

7 esetén a maradékok a hatványokra: 1, 2, 4, 1, 2, 4...

a négyzetszámokra: 0, 1, 4, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2...

Ebből nem rakható ki sem nulla, nem 7 (sem 14, 21, stb.), így az összeg nem lehet héttel osztható.