Megfordítható a Banach–Tarski-paradoxon?

A Banach–Tarski-paradoxon egy tétel, mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeállítani.

A gömböt ebben az esetben legalább 5 darabra kell felvágni. Jelöljük ezeket a darabokat A, B, C, D, E darabnak. Az A és B darabból össze lehet rakni az egyik gömböt, a C, D, E darabból meg a másik gömböt.

Aztán ezt a műveletet természetesen lehet a végtelenségig ismételgetni és ilyen módon az eredeti térfogatot a végtelenségig növelni.

Akkor most fordítsuk meg a dolgot:

Vegyünk egy gömböt és vágjuk félbe. Az egyik félgömböt vágjuk szét az A és B darabokra, a másikat meg a C, D, E darabokra. Majd ezekből a darabokból rakjunk össze egy félgömböt. Ezt a félgömböt újból felezzük el két egyforma részre és ismételjük meg az előbbi műveletet, aztán újból felezzük és megint rakjunk össze egy feleakkora térfogatú alakzatot. Ha ezt a végtelenségig ismételjük, akkor az eredeti térfogat „végül“ eltűnik.

Vagyis a kérdés az lenne, hogy ha az A és B darabból össze lehet rakni egy gömböt, akkor ezt a gömböt újból szét lehet vágni az A és a B darabra? Illetve a C, D, E darabokból összerakottat meg a C, D, E darabokra? Mert ha igen, akkor a fenti paradox esetnek is érvényesnek kellene lennie. Most akkor mi a helyzet?