Az A esemény valsége 0,35; a B eseményé 0,65 a. ) mennyi P (A/B), ha akét esemény egymást kölcsönösen kizárja. B. ) Mennyi P (A/B), ha a két esemény egymástól független? C. ) mennyi P (A/B), ha P (AB) = 0,25?

P(A|B) = P(AB) / P(B)

a) Ha kizáróak, akkor P(AB) = 0, stb.

b) függetlenek, akkor P(AB) = P(A)·P(B), stb.

c) stb.

Nem jó.

Tudod, mit jelent az, hogy P(A|B) ? Az a feltételes valószínűség jele, Az A esemény valószínűsége, feltéve, hogy B bekövetkezett. A kérdések erre a feltételes valószínűségre vonatkoznak.

Kiszámolni úgy kell, ahogy az első sorban írtam: P(A|B) = P(AB)/P(B)

Az a,b,c pontoknál már csak be kell helyettesíteni a megfelelő P(AB) értékeket.

F esemény: 25 év alatti jogosítványos

nem F: 25 éves vagy idősebb jogosítványos

B esemény: baleset

A feladatban megadott adatok matekosan felírva:

- "22%-a 25 év alatti"

P(F) = 0.22

- "78%-a 25 éves vagy annál idősebb":

P(nemF) = 0.78

A maradék két adatnál jól értsd meg, hogy miért így kell írni őket:

- "A 25 év alattiak 0.1 valószínűséggel okoznak balesetet"

P(B | F) = 0.1

vagyis a baleset valószínűsége, feltéve, hogy F teljesül, az 0.1

- "A 25 év felettiek 0.05 valószínűséggel okoznak balesetet"

P(B | nemF) = 0.05

- "Kiválasztunk egy jogosítvánnyal rendelkezőt":

Ez F vagy nemF lesz, P(F) illetve P(nemF) valószínűséggel egyik vagy másik.

a) "Mennyi az esélye, hogy balesetet okoz":

P(B) = ?

Tudjuk a P(B | ...) feltételes valószínűségeket és a teljes P(B)-t kellene tudni. Pont erre való a teljes valószínűség tétel.

P(B) = P(B|F)·P(F) + P(B|nemF)·P(nemF)

b) "Feltéve, hogy balesetet okoz, mi a valsége, hogy fiatal?"

P(F | B) = ?

Tudjuk a P(B | ...) feltételeseket, de a fordítottjuk kell. Ez meg a Bayes tétel:

P(F | B) = P(B | F)·P(F) / P(B)

ahol a P(B)-t a teljes valószínűség tételével kell kiszámolni, de most már azt ki is számoltuk.

c) "Feltéve, hogy nem okoz balesetet, melyik korosztályhoz tartozik nagyobb eséllyel?"

P(F | nemB) és P(nemF | nemB) értéke kell.

Ez mindkettő megint a Bayes tétellel számolható. Természetesen

P(nemB) = 1 - P(B)

illetve

P(nemB | X) = 1 - P(B | X)

és nem is muszáj kiszámolni mindkét Bayes tételt, mert

P(nemF | nemB) = 1 - P(F | nemB)

> 5 feldobásból 2-nél kevesebb írás

2-nél kevesebb: 0 vagy 1

p = 0.57 a fej valószínűsége

0 írás: p⁵

1 írás: 5·p⁴·(1-p)           [binomiális eloszlás]

Ennek a kettőnek az összege a válasz.

> a lakosság 15%-a betegedett meg

p = 0.15

> 18 fős csoportban legfeljebb 3

Sima binomiális ez is, k=0,1,2,3

  3

  Σ (18 alatt k) · p^k · (1-p)^(18-k)

k=0

> normális eloszlás, μ = 4.8, σ = 0.6

> Mi a valsége,hogy 20 elemű minta esetén a minta átlaga 4,6 és 5 liter közé esik?

Centrális határeloszlás tétel:

Van egy tetszőleges eloszlású valószínűségi változónk (mint mondjuk a vitálkapacitás), aminek a várható értéke μ, a szórása pedig σ. Veszünk ebből egy n darabból álló mintát. Ennek a mintának az átlaga egy újabb valószínűségi változó. Szóval ha veszünk egy újabb n elemű mintát és átlagoljuk, az a szám egy újabb értéke ennek a változónak. A centrális határeloszlás tétel azt mondja, hogy ezek az átlagok egy olyan valószínűségi változót adnak, ami közelítőleg normális eloszlású μ átlaggal és σ/√n szórással (ha n elegendően nagy).

Az "elegendően nagy" értéke attól függ, milyen az eredeti változó eloszlása. Nem kell neki normálisnak lennie, a mintaátlag eloszlása akkor is normális lesz. Viszont minél inkább különbözik az eredeti változó eloszlása a normálistól, annál nagyobb n-ekre van szükség (mondjuk 30-ra). Most az eredeti változó normális eloszlású, azzal már 20 elemű minta is jól viselkedik.

Szóval most a mintaátlag 4.8-as várható értékű és 0.6/√20 szórású normális eloszlás. Annak kell kiszámolni, hogy milyen valószínűséggel esik 4.6 és 5 közé.

Azt meg biztos tudod, hogyan kell: normalizálnod kell és megnézni a táblázatban...

> Köszönöm. Ebben tudnál még segíteni?

> Tudni szeretnénk ,hogy egy populáció szisztolés vérnyomása 120 Hgmm-nek tekinthető-e.

> Mintát veszünk, megmérjük 9 ember vérnyomását. 5%-os szignifikancia szint mellett

> mondhatjuk-e,hogy a populáció vérnyomása 120 Hgmm?

> A mért értékek: 108, 129, 135, 105, 133, 102, 138, 128, 142.

A 9 érték átlaga 124,44. Ha másik 9 ember vérnyomását mértük volna meg, egy másik átlagot kaptunk volna. (Ez azt is jelenti, hogy a minta átlaga egy valószínűségi változó.) Pont 120-at valószínű sose kapunk 9 mintából, de attól még lehet, hogy a vérnyomás várható értéke 120.

Az ilyen statisztikai próbák során dönteni akarunk, hogy egy minta alapján kiszámolt érték (124,44) tekinthető-e olyannak, mint amit valamilyen szakmai (nem statisztikai) megfontolások alapján gondolunk (120). A válasz tehát vagy igen, vagy nem lesz (nem pedig a vérnyomás).

Most a feltételezésünk (más szóval a nullhipotézis): a vérnyomás várható értéke 120 Hgmm: µ = 120

(A nullhipotézis mindig egyenlőséget mond! Ezért nevezik null-nak vagyis hogy a két oldal különbsége nulla. Egyébként lehet ≤ vagy ≥ is más feladatoknál a nullhipotézis, de akkor is benne van az egyenlő is.)

Az alternatív hipotézis: a várható érték nem 120: µ ≠ 120

Szignifikancia szint: A hibás döntés valószínűsége, ha valójában a nullhipotézis igaz. Vagyis most annak a valószínűsége, hogy azt mondjuk a döntés végén, hogy nem 120 Hgmm a vérnyomás várható értéke (mert túl sok a 4,44 többlet), pedig mégiscsak 120. Ezt hívjuk egyébként elsőfajú hibának. (A másodfajú az, ha elfogadjuk a nullhipotézist, pedig nem kellene. Arról a szignifikancia szint nem mond semmit.)

Most 5%, vagyis α=0,05. Mivel a nullhipotézis egyenlőséget mond, jobbra és balra is eltérhetünk 2,5-2,5%-kal, úgy lesz összesen 5%. Tehát majd α/2-vel kell számolni.

Eddig csak az adatokat írtam fel, most jön a megoldás:

A vérnyomás (nem a minta, hanem a teljes populáció, a sokaság vérnyomása) bizonyára normális eloszlású. Minden ilyen jellegű dolog normális szokott lenni. Ha tudnánk az eloszlás szórását is, akkor csinálhatnánk u próbát, de csak a várható értéket tudjuk (120). Ha nagy lenne a minta, akkor helyettesíthetnénk a szórást a minta szórásával, de a 9 nem egy nagy méret. Szóval az u próba ugrik...

Mehet viszont az icipicit bonyolultabb t próba (egymintás t-próba). Ahhoz is normális eloszlás kell, az megvan, de nem kell tudni a szórást, és nem kell nagy minta. A t-próbánál van egy olyan fogalom is, hogy szabadsági fok, ez egyszerűen n-1 (minta mérete mínusz egy). A szabadsági foknak megfelelő t táblázatot kell majd használni.

Először ki kell számolni az s értéket: Ez a minta korrigált szórása (azért kell korrigálni, mert kicsi a mintaszám). A korrekció csupán annyi, hogy nem n-nel, hanem n-1-gyel kell osztani:

s = √(Σ(x-a)² / (n-1))

Itt az x-ek a mért értékek, az a pedig az átlag (amit már kiszámoltunk, a=124,44). n az elemszám, n=9.

Aztán ki kell számolni a t értéket:

t = (a - m)/ (s/√n)

Itt m a nullhipotézisben feltételezett érték, m=120

Aztán ki kell keresni a t-táblázatból azt, hogy az f=9-1=8 szabadsági fokhoz, és az α/2 értékhez milyen küszöbérték tartozik.

Vigyázat, van olyan táblázat, ami a szignifikancia szintet tartalmazza (pl. [link] és van olyan is, ami az ellenkezőjét (pl. [link] 3. oldal). Az elsőben a 8-as sorban a 0.025 oszlopot kell nézni, a másikban a 8-as sorban a 0,975 oszlop kell. Mindkettőben a küszöbérték tk=2.306

Ha a kiszámolt t érték abszolút értéke kisebb tk-nál, akkor a nullhipotézist elfogadjuk, egyébként elvetjük.

----

A t-táblában lévő érték azt adja, hogy az annál nagyobbak valószínűsége α (illetve hát a mi α/2-nk). Az első link tetején lévő ábra ezt jól szemlélteti. Ha a mintára kiszámolt t érték abszolút értéke a küszöbnél kisebb, akkor közelebb van az eloszlás közepéhez, szóval "jobb", ezért fogadjuk el a hipotézist.

Na most ha mondjuk t=2.8 jött ki, akkor elvetjük a nullhipotézist 5% szignifikancia szint mellett. Viszont 2% mellett nem vetnénk el, hisz az α/2=0.01-hez a táblázatban 2.896-os küszöb tartozik. Ez elsőre furcsán hangzik, gondoljunk bele:

A szign.szint azt jelenti, hogy 5% elsőfajú hibát vétünk, ha elvetjük az igaz nullhipotézist. Ha csökkentjük a szign.szintet, akkor elfogadjuk nagyobb t érték mellett is a nullhipotézist, tehát kevesebb elsőfajú hibát vétünk, de több lesz a másodfajú, vagyis hogy akkor is elfogadjuk, ha nem igaz. Erre nem mond semmit ez a számolás.