Mennyi ennek a sorozatnak az 1000.  tagja?

A sorozat 1000. tagja, és egyben a 999. prímszám a 7907.

[link]

Nagy.

Mármint ha itt ( [link] elkezded beirogatni, kb. az első 20 elemnél már eléred a határt (2.623e15), amit le lehet kérdezni.

Neked a prímszámtétel π(x) függvényének az inverze kell. Azzal lehet ugyanis megbecsülni, hogy az n-edik prím mekkora.

Ha megvan az inverzfüggvény, akkor veszed a sorozatodnak mondjuk a 7. elemét, ameddig pontosan kiszámoltad, és 993-szor alkamazod rá.

A π(x) függvényre aszimptotikus közelítés az x/ln(x) függvény. Sajnos ennek nem szép az inverze, benne van a Lambert-féle W-függvény, amivel nem könnyű számolni.

De egy alsó közelítésbe azért csak bele tudunk gondolni. Ez minden lépésben alul fogja becsülni a számokat, egyre feljebb haladva egyre jobban, de legalább látod, hogy még így is milyen óriási szám jön ki a végére.

x/ln(x) = n-et kell x-re megoldani, hogy megmondjuk hogy az n-edik prím kábé mekkora. x = n*ln(x) > n*ln(n), hiszen x>n. Tehát alsó közelítésnek megfelel az n*ln(n) függvény, amit rekurzívan ezerszer kell alkalmaznunk. Szavakba öntve ez ugye azt csinálja, hogy az aktuális elemet megszorozza a logaritmusával, és az lesz a következő elem.

ln(127) már kapásból 4.8, a következő néhány elem logaritmusa pedig 6.4, 8.3, 10.4, 12.7, 15.3... azaz egy egyre gyorsabban növekvő sorozat (bár a növekedés üteme "csak" logaritmikus). A lényeg, hogy ezeket a számokat kell végigszorozni.

A részletekbe nem megyek már bele, de ebből az jön ki, hogy ezer lépés alatt kb. 10^3450 környékére nő az alulról becsült sorozat, azaz legalább 3500 számjegy hosszúságú az ezredik elem.