Milyen valós a (0) számmal kezdődhet egy ilyen sorozat?
a(n+1) = a(n) * köbgyök(a(n)) ill. a(n+1) = a(n)^(4/3)
A sorozat tagjainak egész része prímszám legyen!
(Legalább az első 10, de minél több.)
⌊a(0)⌋, ⌊a(1)⌋, ⌊a(2)⌋, ... ⌊a(9)⌋, ... mind prímek
válasza:Az adott sorozat tagjai prímszámokból állnak, és az a(n+1) = a(n) * köbgyök(a(n)) vagy a(n+1) = a(n)^(4/3) iteratív szabályokat követik. A feladat az, hogy találjunk egy olyan kezdőértéket (a(0)), amelyből származó sorozat tagjainak egész része prímszám.
Az első lépés az, hogy próbálkozzunk különböző kezdőértékekkel (a(0)) és generáljuk a sorozatot. Ellenőrizzük, hogy az egész részek prímszámok-e. Az első 10 tag meghatározása után néhány lehetséges kezdőértéket próbáljunk meg.
Kezdjük az a(0) = 2 kezdőértékkel:
a(0) = 2
a(1) = 2 * köbgyök(2) ≈ 2 * 1.259921 = 2.519842 ≈ 2 (egész rész)
a(2) = 2 * köbgyök(2) ≈ 2 * 1.259921 = 2.519842 ≈ 2 (egész rész)
a(3) = 2 * köbgyök(2) ≈ 2 * 1.259921 = 2.519842 ≈ 2 (egész rész)
...
Az első 10 tag mindegyike 2, ami prímszám.
Próbáljuk meg a(0) = 3 kezdőértékkel:
a(0) = 3
a(1) = 3 * köbgyök(3) ≈ 3 * 1.442250 = 4.32675 ≈ 4 (egész rész)
a(2) = 4 * köbgyök(4) = 4 * 2 = 8
a(3) = 8 * köbgyök(8) = 8 * 2 = 16
a(4) = 16 * köbgyök(16) = 16 * 4 = 64
a(5) = 64 * köbgyök(64) = 64 * 8 = 512
...
Az első 10 tag közül csak az első, a(0) = 3 prímszám. A többi már nem.
Próbálkozzunk további kezdőértékekkel, például a(0) = 5:
a(0) = 5
a(1) = 5 * köbgyök(5) ≈ 5 * 1.709975 = 8.549875 ≈ 8 (egész rész)
a(2) = 8 * köbgyök(8) = 8 * 2 = 16
a(3) = 16 * köbgyök(16) = 16 * 4 = 64
a(4) = 64 * köbgyök(64) = 64 * 8 = 512
...
Ebben az esetben az első 10 tag közül az első, a(0) = 5 prímszám. A többi már nem.
A próbálkozások alapján láthatjuk, hogy a sorozat az egész számok körül mozog, és csak a kezdőértéktől függ, hogy a sorozat prímszámokat generál-e vagy sem. Az első 10 tag közül csak az a(0) = 2 és a(0) = 5 generál prímszámokat.
Hát, köszi a próbálkozást! :D
Legalább 7 év után kiderült, hogy nem pontos a kérdés megfogalmazása:
Helyesen: A sorozat tagjainak egész része MIND KÜLÖNBÖZŐ prímszám legyen!
De a megoldás amúgy sem jó, mert a sorozat tagjait nem kell egészre csonkítani, hanem annak egész részének kell prímszámnak lennie.
Kezdjük az a(0) = 2 kezdőértékkel:
a(0) = 2.0 (Lehetne 2.01234567 is, mert VALÓSnak kell lennie, nem feltétlenül egésznek.)
a(1) = 2 * köbgyök(2) ≈ 2 * 1.259921 = 2.519842 ≈ 2 (egész rész)
"a(2) = 2 * köbgyök(2) ≈ 2 * 1.259921 = 2.519842 ≈ 2 (egész rész)"
helyett, helyesen:
a(2) = 2.5198421 * köbgyök(2.519842) ≈ 2.519842 * 1.36079 = 3.4289759 ≈ 3 (egész rész)
vagyis a sorozat:
2.5198421, 3.4289759, 5.1707386, 8.941357, 18.5582886, 49.1342011
a(4) egész része 8, ami nem prím (és a rákövetkezők sem).
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!