Hogyan oldok meg egy ilyen feladatot? Adott az a_{n+1}=a_n^2-2 sorozat, ha a_0>0. Mennyi a határértéke az n-ed rendű gyök alatt a_n sorozatnak ha n tart végtelenhez?

Felírod a sorozat karakterisztikus egyenletét, abból megkapod a sorozat explicit képletét (magyarul egy olyan sorozat, amely nem függ a sorozat tagjaitól, csak n-től), és annak a végtelenben vett határértékét kell vizsgálnod.

Ha szerencséd van, és a sorozat első pár tagjára meglátod a megfelelő képletet, akkor nem kell a karakterisztikus egyenlettel foglalkozni.

Szerintem:

(a_0 + gyök(a_0 * a_0 - 4))/2 ha a_0 >= 2

tehát pl. a_0={2, 3, 4} esetén {1, (3+√5)/2, (4+√12)/2}

A kérdezett határérték kiszámolásához nem feltétlenül szükséges a rekuzív sorozat explicit képlete.

Kérdés, hogy a feladat eredeti szövegét pontosan idézted-e?

Ugyanis a jelzett 0<a_0 kikötés elírásnak tűnik.

Én a 2<a_0 feltétellel próbáltam meg kiszámolni a határértéket:

[link]

Akkor én biztos félreértettem: n-szeres gyökvonást gondoltam, nem n-edik gyököt.

Mert triviálisnak gondoltam, hogy ha 2^n -dik hatványból n-edik gyököt vonunk, akkor az inf-be tart.

(Előző válaszolónak)

Valóban triviális volna, nekem is furcsa volt hogy túl símán kijött amit számoltam.

Viszont biztosan jól gondoltad, és inkább a kérdés volt pontatlan, vagyis

"n-ed rendű gyök" helyett

"n-edik négyzetgyök"-ről lett volna szó, (ami 2^n-dik gyöknek is tekinthető).

A feltétel, pedig (0<a_0 helyett) 2<a_0 volna.

Akkor tényleg kijön a fent közölt képlet.

A -2<a_0<2 eset nagyon érdekesnek, de nehéznek látszik.

A negatív tagokból való n-dik gyökvonással ne legyen gond, mert akkor a tagok abszolút értékéből vonhatnánk annyiadik gyököt, a kérdés lényegén nem változtat.

A 0,1,2,n kívűl √2, √(2+√2), √(2+√(2+√2)), ...

is egyszerű lesz, mert néhány lépés után állandóan 2-t ad.

Szerintem |a_n| n-edik gyökének

- vagy 1 a határértéke,

- vagy két torlódási pontja van: 0 és 1.

Ha 0 nem torlódási pont (vagyis valamilyen 0<ε-ra ]-ε,+ε[ a sorozat egyetlen tagját sem tartalmazza), akkor - pusztán a korlátosság miatt - |a_n| n-edik gyöke tart 1-hez.

Ha 0 torlódási pont akkor 2 is torlódási pont, mert,

ha a_n "nagyon közel" van 0-hoz,

akkor a pozitív a_n^2 még közelebb van 0-hoz,

és a_(n+1) = a_n^2-2 is ennyire "közel lesz" 2-höz.

Tehát az még nem látszik, hogy 0 lehet-e torlódási pont, de ha igen, akkor biztosan van másik (a 2) is,

tehát 0 nem lehet határérték (egyetlen torlódási pont).

Az a sejtésem, hogy az a_n sorozatnak - az általános esetben - a [-2;+2] intervallum minden eleme torlódási pontja lesz.

Egyébként érdekesnek ígérkezik a

√(2+√(2+…))

sőt a

±√(2±√(2±…))

alakú számok elhelyezkedésének tanulmányozása

és a kérdéses sorozat ezekhez viszonyított helyzetének vizsgálata.