Sin x /x-nek mi a határértéke, ha x tart a végtelenbe?

Kis kiegészítés az előzőhöz, de az ott közölt eredmény természetesen helyes.

Az f(x)=sin x függvény minden valós számra értelmezett, és tudjuk azt is, hogy értékkészlete a [-1;1] intervallum, ez áll a tört számlálójában. A nevező pedig sima x, és ha ez tart a +végtelenbe, akkor voltaképpen egyszerű behelyettesítéssel azt kapjuk, hogy számláló: -1...1/nevező: +végtelen, ami pedig 0.

Esetleg annyit lehet megjegyezni, hogy a 0 körül "ingadozik", "hullámzik" a függvénygörbe.

Vagy ha precízkedni akarunk, akkor azt úgy kell, hogy a sin(x)-et felülről becsülhetjük 1-gyel és alulról –1-gyel. Tehát ha mond nekünk valaki egy ε-t, hogy mi meg mondjuk meg, mikortól (melyik X-től) lesz ennél közelebb a függvény 0-hoz, mert ő definíció szerint szeretné látni, hogy tényleg 0 a határérték, akkor nekünk csak annyi a dolgunk, hogy egyrészt a

f(X) = sin(X)/X ≤ 1/X < ε

egyenlőtlenséget oldjuk meg, másrészt pedig az

f(X) = sin(X)/X ≥ –1/X > –ε

egyenlőtlenséget, és megnézzük, melyik X a nagyobb.

Most nyilván egyenlők lesznek az x-ek, mert az egyik egyenlőség a másiknak az ellentettje, és az adódik X-re, hogy elég, ha nagyobb, mint 1/ε.

Az előző (valóban precíz) határérték-definíciót szemlélteti például a lenti ábra:

[link]