A matematika melyik területe a legnehezebb?

f-el jelölünk minden olyan bemenő paramétert, amitől függ a nehézség.

Hogy mitől függ és hogyan, azt neked kell megmondanod, hiszen szubjektív a dolog.

Előljáróban csak annyit, hogy nehézség szintje nyílván függ pl. a szükséges előismeretek mennyiségétől, a témakör elvontságától, a kitűzött cél színvonalától. Továbbá relatív módon függ a vizsgált személy beállítottságától, adott tématerületekre való fogékonyságtól.

Konkrétan:

1. Előismeretek mennyisége:

a.) Egy óvodásnak, aki még nem ismeri a számokat, pl. nehéz lenne egy téglatest térfogatának kiszámítása, mivel előbb meg kéne ismerni a számokat, ill. az alapműveleteket.

b.) Egy általános iskolásnak pl. nagyon nehéz lenne a parcdiffegyenletek megtanulása, mert először az analízist kéne elsajátítania.

2. Témakör elvontsága: Részben ez is relatív, személytől függő dolog. Pl. egy általános iskolás számára nagyon elvontnak tűnhet egy harmadfokú algaebrai egyenlet megoldása.

Viszont aki pl. tanult már másodfokú egyenletet, meg egy kis komplex számokat, annak különösebb problémát ez nem jelent, hiszen nem tűnik számára elvontnak.

Ezenkívűl sokak mondják pl. hogy az analízis, a valószínűségszámítás, vagy épp az absztrakt algebra rendkívül elvont. Ezek nyílván helyes megállapítások, de személytől függő dolgok. Akinek kedvence mondjuk a valszám, őneki nyílván nem tűnik elvontnak az egész.

3. Kitűzött cél színvonala: Pl. Általános iskolában megtanítják a kör területképletét. Ha a kitűzött cél az, hogy számokkal tudjunk kihozni egy eredményt, akkor ez helytálló.

De ha a cél az, h. értsük is, hogy mi van a képletek mögött, akkor bizony bele kell mennünk minimum az integrálszámításba.

Jól látható, hogy előbbi előbbi viszonylag könnyen véghezvihető, míg utóbbi jócskán több munka- és energiabefektetést igényel.

4. Vizsgált személy beállítottsága, fogékonyság adott tématerületre.

A matematikát is alapvetően két részre lehet bontani: Alkalmazott matematika, és elméleti matematika. Aki pl. inkább gyakorlatiasabb, az alkalmazások iránt fogékony, számára nehezebb az elméleti dolgok megragadása.

Fordítva: Aki inkább elvontabb tipus, az elméleti dolgok iránt fogékonyabb, ő nehezebben fogja átlátni az alkalmazásokat, pl. hogy milyen műszaki, fizikai dolog van a háttérben.

Konklúzióként tehát megállapíthatjuk hogy a "nehézség" mérésére nem adható olyan univerzális formula, amely minden emberre egyformán lenne jellemző.

Csak adott személyre szabva, az ő tulajdonságainak ismeretében konstruálható ilyen.

Ha saját magadra szeretnéd megállapítani a nehézség mérőszámát, akkor ezen bemenő paramétereket, és hogy azoktól hogy függ a nehézség, neked kell megadnod.

Nem tudom, hogy amit most leírtam, mennyire jött át, ill. érted -e hogy mit akarok mondani.

Ha már itt matematikáról akarunk beszélni, akkor mindent egyértelműen meg kell nevezni, és a kapcsolatokat egyértelműen feltárni, a matematikában nem létezik mellébeszélés. Ezt úgy hívják, h. matematikai modellalkotás.

A bemenő paramétereket jelölje pl. x1,x2,...,xn, ezek felelnek meg f-nek, azaz most f egy n-változós skalárfüggvény, vagyis f=f(x1,...,xn).

Feladatunk tehát előállítani lényegében ezt az f függvényt. De ebből nem csak egy van, ugyanis minden felvetődő tématerületre meg kell néznünk. Pl. ilyen tématerületek:

-geomatria

-algebra

-analízis,... stb.

Jelölje a tématerületeket k1,k2,...,km. Ekkor nyílván m darab f függvényünk lesz, azaz:

fk1(x1,...,xn)

fk2(x1,...,xn)

.

.

.

fkm(x1,...,xn).

Ezeket berakjuk egy oszlopvektorba. Így lényegében egy vektor-vektor függvényt kapunk. (Azaz olyan vektor, melynek minden komponense n-dimenziós skalárfv.).

Erre a vektorfüggvényre hat az F operátor, tehát a nehézség mérőszámát az F: f->P leképezés adja meg a bemenő paraméterek és a vizsgált témáktól függően.

Végülis oda jutottunk amit már említettem: az F(f)=max. szélsőértékproblémát kell megoldanunk.

Azaz keressük azt az fqr (1<=q,r<=m)skalárfüggvényt, mely mellett a F funkcionálnak maximuma van.

Mivel az így megtalált fqr skalárfüggvény egyértelműen megadja a keresett "legnehezebb témakört" így lényegében a feladatot megoldottuk.

Nos tehát, egzakt módon így kell kezelni a felvetett problémát, matematikai módszerekkel.

Érdekes módon a legegyszerűbb számelméleti tételek is hihetetlen mélységeket nyitnak meg. Azt hiszem még egy általános iskolás is megérti a Goldbach sejtést de bizonyítani, ugye, nem tudjuk.

A leginkább "elborult" kétségkívül a kategóriaelmélet vagy az algebrai geometria de leginkább azért mert az intuíciónktól nagyon távol esik.

Ugyanakkor a kiválasztási axiómára leggyakrabban analízis közben támaszkodunk és a a kiválasztási axióma sok szempontból a legnehezebb axióma tehát akár az analízist is tekinthetjük. (Persze a topológia is erősen épít az AC-re, a Tychonoff tétel ugye, és az előző bekezdésben mindkét ág a topológiából ered.)

Elég? :)

Tisztelt #14-es válaszoló! (71%)

Kifejthetnéd részletesebben a felvetésed! Jómagam a #8 és #12 válaszokat adtam. Utóbbiban felvázoltam egy lehetséges matematikai modellt a kérdésben felvetett problémára. Úgy gondolom, hogy a logikusan felépített gondolatmenetemre az általános megállapításod nem érvényes.

Ha mégis úgy gondolod, hogy az általam leírtak "katasztrófálisak" akkor kérlek részletezd az okokat! (Akár privátban is, ha gondolod, de mindenképp szeretném látni ellenvetésed alapjait).

#14

Leszólod a válaszolókat, de nem világítasz rá tévedésük mivoltára.

Az "én mindenkinél jobban tudom" nem érv a vitában, beszélgetésben.

Ráadásul elvi tévedésben leledzel, ugyanis nem abszolut, hanem egyéntől függő "melyik területe a legnehezebb a matematikának?" kérdés a kiinduló pont.

Pont.

Tegyük fel, hogy az elsajátítandó ismeretekhez szükséges előismeretek mennyisége xe. A tényleges, új fejezetekkel együttvéve tételezzük fel, hogy ennek konstansszorosát kell megtanulni, ez A*xe.

Jelölje a jelenleg birtokunkban lévő előismeretek mennyiségét x1.

Ekkor a nehézségnek nyílván arányosnak kell lennie a ténylegesen megtanulandó mennyiség, és a jelenleg birtokunkban lévő mennyiség különbségével. Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel egyenes arányosságot, ekkor

f arányos a1*(A*xe-x1) -el, ahol a1 konstans.

(Ez természetesen rossz közelítése a valóságnak, exponenciális fv. jobb lenne, de hogy miért abba most nem megyek bele).

Viszont elemezzük egy kicsit a fv.-ünket: ha az A*xe mennyiség birtokában vagyunk, akkor a nehézség ezen szempontból 0. Vagyis ez azt jelenti, h. megtanultuk a szükséges mennyiséget. Viszont az is előfordulhat, hogy A*xe<x1, ilyenkor a nehézségre egy negatív érték jön ki!

Mit jelent ez? Többet tudunk, mint a vizsgált mennyiség. Vagyis konkrétan: Az adott A*xe mennyiséget taníthatnánk valaki másnak. Vagyis nem egy pozitív számmal reprezentált nehézséggel küzdünk, hanem egy negatív nehézség áll fenn, amit úgy foghatunk fel, hogy ezzel másoknak segítünk, tanítás útján.

Tehát lényegében az első bemenő paraméterünktől (xe) való függés megvan.

A második a cél színvonalának vizsgálata. Ha a megértést vesszük alapul, akkor a megértést jellemezzük egy x2 változóval. Azaz x2 jelentse a megértett összefüggések mennyiségét, ami 0-tól, mehet elvileg végtelenig.

Ha valaki szinte semmit nem ért, azaz x2=0 akkor számára igen nehéz az adott dolgot átlátni, ezt a "kezdőnehézséget" jelölje a2 konstans. Ahogyan egyre több dolgot értünk, mindig összeáll a kép folyamatosan, viszont érezzük, hogy ez a kapcsolat nem lehet lineáris.

Hiszen minnél több mindent értünk, annál jobban rálátunk az adott témakör mélységére és szépségeire, vagyis, azzal hogy értünk valamit, gyakorlatilag elő is segítjük a tanulást, ezzel mérsékelve a nehézséget.

Legyen mondjuk a megértésből adódó nehézség arányos

a2*e^(-x2)-vel.

Látható, ha x2=0, vagyis nem értünk semmit, akkor egy konstans a2 nehézséggel szembesülünk x2-őt növelve egyre csökken a nehézség (exponenciálisan), majd, ha elvileg végtelen sok dolgot értünk, akkor zérusba tart a megértésből származó nehézség.

Hasonlóan még számtalan bemenő paramétert figyelembe lehetne venni. Látszik, hogy ez hosszú történet, a leírt példákból úgy gondolom, már magad is létrehozhatsz ilyen függvényeket, így én már nem kívánok több fv.-t kitalálni...

Most akkor van egy kétváltozós (a változók x1 és x2) skalárfüggvényünk, amit a következőképp állítunk elő: Az előzőekben létrehozott arányosságokból adódó függvényeket összeadjuk. Ugyanis feltételezhető, hogy az egyes inputokból adódó "résznehézségek" egymásra szuperponálódnak, azaz hatásuk összegződnek. Tehát a függvényünk:

f(x1,x2)=a1*(A*xe-x1)+a2*e^(-x2).

Namármost, ez csak egyetlen egy függvény, és csak egy témakörre igaz. Más témakörökre más-más ilyen f függvényünk lehet.

Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy minden témakör nehézségét ez az f fv. adja meg.

Így gyakorlatilag csak annyi a feladatunk, hogy behelyettesítjük a bemenő adatokat az egyes témakörök esetére és megnézzük, hogy melyikre lesz maximális, ezt már rád bízom.