Sinus és cosinus miért így néz ki?

Ő… Hányadikos vagy? Ha precízen és részletesen érdekel, akkor ezt olvasd el, ha valamit nem értesz belőle, akkor katt a linkre, mert az is van ám itt:

[link]

Amúgy az történik, hogy megnézzük, hogy a szinusz a 0-ban az 0, ez a 0. közelítés. Aztán megnézzük, hogy milyen gyorsan kezd emelkedni, és azt látjuk, hogy olyan gyorsan, mint a θ, tehát az szinusz az majdnem olyan, mint a θ. Azt is megnézzük, hogy ettől milyen gyorsan megy el, és azt látjuk, hogy –θ^3/3! szerint, és ezt csináljuk sokáig. Azt reméljük, hogy θ hatványainak valamilyen számsorosainak összegeként pontosan visszakapjuk a szinuszt (a szinuszhoz végtelen sok ilyen hatvány összege kell, de előáll, van olyan függvény is, ami nem).

A faktoriálisok pedig most nem a kombinatorika miatt jönnek be. Nem tudom, hallottál-e a deriválásról.

Ugye ha megnézed, a θ függvény érinti a sin(θ)-t, a θ – θ^3/3! harmadrendben simul hozzá, a θ – θ^3/3! + θ^5/5! még jobban simul. Ezekben az új tagokat deriválással lehet ugye kiszámolni.

A sin(θ) deriváltja a cos(θ), ennek a deriváltja a –sin(θ), annak a deriváltja a –cos(θ) és ha ezt még egyszer deriváljuk, akkor visszakapjuk a sin(θ)-t. Na most az összeg deriváltja a deriváltak összege, tehát 4-szer deriválva az hatványok összegét vissza kell kapjuk az eredeti hatványokat. θ^n deriváltja n*θ^(n – 1), ennek deriváltja n*(n – 1)*θ^(n–2), és így tovább, egészen addig, még n*(n – 1)*…*1*θ^0-t nem kapunk, ami éppen n!. És ezt az n!-t kell kiejteni amikor az összeget deriváljuk 4-szer:

Az eredeti összeg:

sin(θ) = θ – θ^3/3! + θ^5/5! – θ^7/7! + θ^9/9! – …

Ennek a deriváltja:

cos(θ) = 1 – 3*θ^2/3! + 5*θ^4/5! – 7*θ^6/7! + 9*θ^8/9! – … = 1 – θ^2/2! + θ^4/4! – θ^6/6! + θ^8/8! – …

–sin(θ) = 0 – θ + θ^3/3! – θ^5/5! + θ^7/7! – …

…

És így nagyjából látod, hogy miért jók a faktoriálisok.

Én amikor először hallottam a Taylor-sorokról, akkor egy autós példával tanultam meg könnyen.

Tegyük fel, hogy egy autó változó sebességű mozgást végez. Nem ismerjük, hogy pontosan merre fog menni, de ismerjük az adott pillanatban a helyét, a sebességét, és a gyorsulását.

Ekkor felírhatjuk egyszerűen, hogy nagyjából s(t)=s(0) + v(0)*t + a(0)/2*t^2... ezt ismerjük alap fizikáról. De miután megtanultuk később, hogy a sebesség és a gyorsulás a megtett út idő szerinti deriváltjai rájöttünk, hogy folytathatjuk a sort még tovább is.

Tovább deriválunk:

s(t)= s0 + v*t + a/2*t^2 + a'/6*t^3 + a''/24*t^4 ... stb.

vagy felírhatjuk így is:

s(t)= s0 + s't + s''/2*t^2 + s'''/6*t^3... s(n-edik derivált)/n! * t^n

Amit kapunk az egy nagyon jó közelítés arra, hogyan mozog a test. És gyakorlatilag felírtuk az út-idő függvény Taylor-sorát. Amit csinálnunk kell az csak annyi, hogy s(t)-t kicseréljük általánosan f(x)-re, a független t változót pedig x-re.

Elméletileg, hogy ha végtelenségig folytatjuk a deriválást, akkor megkapjuk a pontos út-idő függvényt...de nem mindig. Tegyük fel, hogy pontosan meghatároztuk a függvényt, de aztán a kocsink karambolozik... na ezt például nem tudjuk közelíteni egy adott pontból.

Általában amit tudunk azt analitikus függvénynek hívjuk, és nem mindegyik az.

Aztán ott van a szinusz és koszinusz függvény. Ha ugyanezt megcsinálod ezekkel a függvényekkel is, akkor kapod azokat a sorokat, amiket a link mutat.