Mi az x^3y + cos (y*pí) = 7 egyenlet y-ra rendezett formája? Hogyan tudom kiszedni a cosinusból az y-t?

Na nézzük akkor kicsit részletesebben ezt a dolgot.

Addig gondolom tiszta, hogy implicit a függvény, mert nem y=f(x) alakú. Deriválni azonban így is lehet, sőt, ilyenkor mindig kifejezhető deriválás utáni rendezéssel az y'. Úgy lehet megfogni az egészet, ha azt gondoljuk, hogy y mégis kifejezhető. De ekkor is csak annyit tudunk, hogy y valamilyen f(x) ismeretlen függvény, így deriváláskor csak jelölni tudjuk annak elvégzését.

Tovább bonyolítja a helyzetet, hogy a fenti példában a bal oldalt az első tag x^(3*y). Ez úgy is írható, hogy x˙3*[f(x)]. Egy újabb klasszikus probléma jön elő: függvény a függvényediken típust kell deriválni. Ezt vagy az e^ln... formába történő átírással, vagy logaritmikus deriválással lehet megcsinálni.

Legyen most az első. A logaritmus definíciója alapján írható, hogy mondjuk 5=e^(ln 5). Ugyanígy most x^(3*y)=e^ln[x^(3*y)], ami a hatványozás azonosságaival az e^(3*y*ln x) formát ölti. Ez így deriválható, mert exponenciális függvény. A példa többi részével nincs gond, de arra figyelni kell, hogy a cos(pí*y) az tulajdonképpen megint cos[pí*f(x)], azaz ez is összetett függvény. Természetesen az első tagban az y*ln x szorzatnak számít, hiszen f(x)*ln x-nek is tekinthető.

Innen már "csak"deriválni, rendezni és behelyettesíteni kell. Ha y=1 adott, akkor az ehhez tartozó x-et ez eredetibe történő behelyettesítéssel lehet megkapni. Remélem kicsit tisztább így a kép :)

Rend kedvéért leírom :D

Nos, ha y=1, akkor helyettesítve ezt az eredetibe, kapjuk: x^3+cos pí=7, ahonnan cos pí=-1 miatt x^3=8, x=2 adódik. Tehát majd a végén (x; y)=(2; 1) helyettesítéssel kell dolgoznunk.

Deriválás:

- e^(3y*ln x) esetén e^(3y*ln x)*(3y'*ln x+3y*1/x), itt ez utóbbi zárójel a belső függvény, mint szorzat deriváltja;

- cos(pí*y) esetén -sin(pí*y)*y', mivel összetett függvény;

- a jobb oldalon álló 7deriváltja, lévén ez konstans, 0.

Rendezés és behelyettesítés után m=y'(2; 1)=-1/ln 4 adódik valóban, ahogy azt az első válaszoló is írta.

91% -os jól leírta.

Megjegyzem ezt a tipusú példát meg lehet oldani implicit függvény deriválási szabálya nélkül is.

Vegyük ugyanis észre hogy habár y nem, de x viszont kifejezhető.

Innentől kezdve célravezető az is, ha az inverzfüggvény deriválási szabályát alkalmazzuk.

(Persze bizonyos meggondolásokat teszünk az invertálhatóságra vonatkozóan).