Mi a megoldás a^4+2*a^3+2*a^2-2*a+1=0?

Ez elég egyszerű egyenlet, ha tanultad a trükkjét…

Az a = 0 nem megoldás, tehát oszthatunk a^2-tel:

a^2 + 2*a + 2 + 2/a + 1/a^2 = (a^2 + 1/a^2) + 2*(a + 1/a) + 2 = 0.

Legyen b = a + 1/a. Ekkor b^2 = a^2 + 2 + 1/a^2, azaz a^2 + 1/a^2 = b^2 - 2.

Ezeket helyettesítve:

b^2 - 2 + 2*b + 2 = b^2 + 2*b = 0.

Innét már gondolom, menni fog.

Ez a trükk működik minden 4-ed vagy 5-öd fokú szimmetrikus egyenletnél, azaz amelyek

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0

illetve

a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0

alakúak, ahol a nem 0. Az ötöd fokúnál még azt kell észrevenni, hogy az x = -1 megoldás, és akkor egyből negyedfokú lesz.

Ipsz… Most nézem, hogy egy előjelet elnéztem…

De szerencsére még így is hasonló a feladat:

Az a = 0 nem megoldás, tehát oszthatunk a^2-tel:

a^2 + 2*a + 2 - 2/a + 1/a^2 = (a^2 + 1/a^2) + 2*(a - 1/a) + 2 = 0.

Akkor legyen b = a - 1/a, így b^2 = a^2 + 1/a^2 - 2, azaz a^2 + 1/a^2 = b^2 + 2, így

b^2 + 2*b + 4 = 0.

És innét – gondolom – ismét menni fog.