Igaz-e a 2*int (0, inf) dt/ (1+x^4*t^2+x^2*t^4) =pi/ (x^4+2|x|) sejtés?

Szerintem igaz, vagy ötösöm lesz a lottón, mert ez az 5 szám bejött :D

[link]

Ki lehet integrálni elemi módszerekkel. De csúnya lesz az eredmény, még a Wolframalpha sem bír vele.

A nevezőben ki kell emelni x^2-et, ez konstans, akár ki is vihető az integrál elé.

A nevezőben végülis az marad, hogy t^4+x^2t^2+1/x^2. Ezt teljes négyzetté alakítjuk, így a nevezőben olyan lesz hogy:

(t^2+0.5x^2)^2+1/x^2-0.25x^4.

Itt esetszétválasztást kell csinálni, attól függően, hogy 1/x^2-0.25x^4 pozitív vagy negatív.

Érdemes továbbá alkalmazni egy helyettesítést. Itt újabb esetszétválasztások lesznek a gyök miatt plusz és minusz.

Egy másik lehetőség, hogy a nevező "ügyes" szorzattá alakításával egy tetszőleges n-edik hatványt vizsgálunk. De itt is esetszétválasztás lesz, mivel a szorzat lehet valós vagy komplex. Szorzattá alakítás után parciális integrálással egy rekurzív formula vezethető le.

Na az ötletet megadtam. Nekem most időm nincs erre, ez legalább 10 oldal kézi számítás. Akinek van kedve, csinálja meg, ki kell hogy jöjjön valamilyen eredmény, nem hinném hogy zárt alakban nem lenne megadható.