Valaki le tudná nekem vezetni a kör érintési feltételét? (lent)

Szerintem ezt le lehet vezetni a megadott egyenletekből, illetve abból, hogy érintőről van szó.

Ha egy kör és egy egyenlet közös pontjait, akkor meg kell oldanunk a következő egyenletrendszert:

(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2

y= k*x + n

Persze egy konkrét feladatban csak az x és az y lesz ismeretlen, változó, a többi adott.

Ezt úgy kell megoldani, hogy a 2. egyenlet jobb oldalát be kell helyettesíteni az 1. egyenletbe az y helyére.

Ekkor ugye marad egyetlen másodfokú egyenletünk, amiben x a változó.

Ha a többi betűnek nincs konkrét értéke, akkor ez az egyenlet paraméteres egyenlet.

Egy másodfokú egyenlet megoldásait tekintve 3 lehetőség van (a valós számok halmazán):

- nincs megoldása (ebben az esetben az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja)

- 1 megoldása van (ebben az esetben érinti)

- 2 különböző megoldása van (ebben az esetben metszi)

Ezekhez a másodfokú egyenlet diszkriminánsát kell vizsgálni:

- 0 megoldás, ha D < 0

- 1 megoldás, ha D = 0

- 2 megoldás, ha D > 0

Ha van egy ax^2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletünk, akkor D = b^2 - 4ac.

----------------------

Visszatérve a kérdésedhez:

1. Helyettesítsük be az egyenes egyenletét a kör egyenletébe y helyett:

y= k*x + n

(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2

(x-p)^2 + (k*x + n-q)^2 = r^2

Végezzük el a négyzetreemeléseket (nevezetes azonosságok):

x^2 - 2xp + p^2 + (k^2)x^2 + 2k(n-q)x + (n-q)^2 = r^2

Vonjunk össze:

(k^2 + 1)x^2 + (2k(n-q) - 2p)x + (p^2 + (n-q)^2 - r^2) = 0

Tehát:

a = k^2 + 1

b = 2k(n-q) - 2p

c = p^2 + (n-q)^2 - r^2

D = b^2 - 4ac = (2k(n-q) - 2p)^2 - 4(k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2 - r^2) =

= 4(k(n-q) - p)^2 - 4(k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2 - r^2)

D = 0 kell nekünk, tehát:

4(k(n-q) - p)^2 - 4(k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2 - r^2) = 0

4-gyel oszthatunk:

(k(n-q) - p)^2 - (k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2 - r^2) = 0

(k(n-q) - p)^2 - (k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2) + r^2 * (k^2 + 1) = 0

r^2 * (k^2 + 1) = (k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2) - (k(n-q) - p)^2

Megvan a bal oldal, már csak a jobb oldalt kell átrendezni:

(k^2 + 1)(p^2 + (n-q)^2) - (k(n-q) - p)^2 =

= k^2*p^2 + k^2*(n-q)^2 + p^2 + (n-q)^2 - (k^2*(n-q)^2 - 2kp(n-q) + p^2) =

= k^2*p^2 + k^2*(n-q)^2 + p^2 + (n-q)^2 - k^2*(n-q)^2 + 2kp(n-q) - p^2 =

= k^2 * p^2 + 2kp(n-q) + (n-q)^2 = (kp)^2 + 2(kp)(n-q) + (n-q)^2 = (kp + (n-q))^2 = (k*p + n - q)^2

Tehát

r^2 * (k^2 + 1) = (k*p + n - q)^2

Azaz kijött, amit kérdeztél.

Én meg örülök, hogy nem számoltam el... :)