Adott egy e egyenes és azon két különböző pont, A és B. Mi azon érintkező körök érintési pontjainak mértani helye, amelyek egyike az e egyenest A-ban, a másik pedig B-ben érinti?

Az AB szakasz fölé írt Thales-kör (kivéve az A és B pontokat).

Legyen ugyanis az A-ban érintő kör középpontja O1, a B-ben érintő kör középpontja O2, a vizsgált érintési pont E. Ekkor az EAB szöget alfával jelölve, az EO1A szög 2alfa: EAB ugyanis az EA íven nyugvó érintőszárú kerületi szög, EO1A pedig a megfelelő középponti szög. Hasonlóan: ha az EBA szög béta, akkor az EO2B szög 2béta.

Viszont EO1A+EO2B=180, mivel az O1O2AB négyszög A és B csúcsoknál levő szögei derékszögek. Így

2alfa+2béta=180,

azaz

alfa+béta=90.

Tehát az AEB háromszög derékszögű, így az E pontból az AB szakasz derékszögben látszik. Tehát E valóban rajta van az AB fölé írt Thales-körön.

Megfordítva végiggondolható, hogy a Thales-kör minden (A-tól és B-től különböző) pontja jó: ha E a Thales-körön van, akkor az e-re A-ban illetve B-ben állított merőlegesekből EA illetve EB felezőmerőlegesei megfelelő körök középpontjait metszik ki.

Így van, de mégegyszerűbb indoklás is van.

Tegyük fel, hogy E közös érintési pont, ekkor az érintő metszi az AB egyenest, valamilyen X pontban (az érintő nyilván nem párhuzamos AB-vel). De ekkor egyenlő érintőszakaszok XA=XE és XE=XB. Tehát XA=XB, azaz X mindig az AB szakasz felezőpontja, ráadásul E az X középpontú, XA=XB sugarú körön van (AB Thalesz-köre).

(Visszafele: a Thalesz-kör tetszőleges, A-tól és B-től különböző E pontjához könnyű meghatározni a két kört: E-ből merőlegest szerkesztünk XE-re, ahol ez metszi a két szög (AXE, EXB) szögfelezőjét, ott lesz a két kör középpontja.)