Hogyan lehet bebizonyítani, hogy cos (180/11) +cos (3*180/11) +cos (5*180/11) +cos (7*180/11) +cos (9*180/11) =0.5?

Sehogy, mert a bal oldal nem 0,5, hanem körülbelül –0,22…

[link]

Amúgy én kapásból arra gondoltam, hogy meg kéne nézni a 11. komplex egységgyököket.

Mit szabad használni? Miről tanultatok?

> „Valamit az egységgyökökkel kellene babrálni, valóban.”

És kiindulási ötletnek ez nem jó?

(Amúgy rosszul írod a számológépbe. Elfelejted, hogy az fokra van állítva…

0,5 = cos(180°/11) + cos(3*180°/11) + cos(5*180°/11) + cos(7*180°/11) + cos(9*180°/11) = cos(π/11) + cos(3*π/11) + cos(5*π/11) + cos(7*π/11) + cos(9*π/11) ≠ cos(180/11) + cos(3*180/11) + cos(5*180/11) + cos(7*180/11) + cos(9*180/11) ≈ –0,22.)

Tévedtem. A 22. egységgyököket kell nézni (ugye nem 2π van a számlálókban, csak π).

Aztán ezeket próbáld meg csoportosítani, ugye tudod, hogy az összegük 0, nézd meg a párosadikok valós részeinek összegét, a páratlanadikokét, és ugye most a páratlanadikok első felének (1., 3., 5., 7., 9.) a valós részeinek összege érdekel, vesd össze őket a második felük valós részeivel (13., 15., 17., 19., 21.).

Ennek van egy elemi geometriai bizonyítása!

Sőt, 11 helyett bármilyen páratlanra működik.

Segédtételként annyit kell felhasználni, hogy a szabályos sokszögek középpontjából a csúcsokba mutató vektorok összege nullvektor. (Ez könnyen bizonyítható, és jól ismert tétel.)

Na most helyezzünk el egy szabályos 11-szöget az egységkörben úgy, hogy az egyik csúcsa a 180°-nál legyen.

Az origóból a csúcsokba induló szomszédos vektorok szöge ekkor 360°/11.

Az elrendezés miatt a vektorok forgásszöge 180°/11, 3*180°/11, ... ami éppen nekünk kell.

Na most e vektorok összege nullvektor, emiatt, ha elhagyjuk a "balra" mutató vektort, a többi összege ennek ellentettje lesz, ami épp az i egységvektor.

A többi vektor az x tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el, ezért ezek összegének függőleges összetevője nulla.

A "fenti" vektorok összege ugyanaz, mint a " lenti" vektorok összege, ezért a vízszintes összetevőjük ugyanakkora.

Mármost a vízszintes összetevők összege éppen a feladatban szereplő összeg kétszerese, ami kereken 1.

Tehát a keresett összeg 0,5.

Kieg:

Ez a gondolatmenet ugyanígy alkalmazható bármilyen (legalább 3) páratlan szám esetén is.