Miért 0.5*m*v^2 a mozgási energia, amikor az m*v^2 ugyanúgy megmaradó mennyiség?

Tegyük fel, hogy állandó F erő gyorsít egy m tömegű testet s úton keresztül:

W = F·s

F = m·a

→ W = m·a·s

s = 1/2·a·t²

→ W = 1/2·m·a²·t²

= 1/2·m·(at)²

= 1/2·m·v²

Ez egy jogos kérdés. Amikor az energiát számszerűsítjük, akkor nem elégszünk meg egy vele arányos mennyiség számszerűsítésével, mert ekkor egy konstans szorzó erejéig tévednénk.

A korrekt válasz részemről az, hogy a mozgást leíró matematikai egyenletek így jönnek ki, ezek levezethető dolgok.

Nem rossz bongolo válasza sem. Viszont ha én lennék a kérdező, rögtön megkérdezném, hogy az

s=(1/2)*a*t^2

négyzetes úttörvénybe miért kel az 1/2 -es szorzó.

Ugyanis ha nem raknánk bele, akkor azt kaptuk volna, hogy az energiába sem kell 0.5 szorzó.

Erre ismét azt tudom mondani, hogy a négyzetes uttörvénybe azért kell a feles szorzó, mert a matematikai egyenletek így jönnek ki...

Például megtanultátok azt hogy s=v*t, állandó sebességű egyenesvonalú mozgás esetén. Viszont rögtön felvetődik, mi van akkor, ha a sebesség időben változik azaz egy v(t) időtől függő sebességgel dolgozunk. A négyzetes uttörvény egy speciális eset, hisz a sebesség időben lineárisan változik, azaz v(t)=C*t+v0, ahol C konstans v0 pedig egy alkalmasan választott kezdősebesség.

Valójában az s=v*t képletet általánosítják, oly módon, hogy csak egy kicsiny, delta(t) időköz alatt történő kicsiny delta(s) elmozdulást tekintünk.

Ha ebből kreálunk egy olyan képletet hogy:

delta(s)=v*delta(t),

akkor elegendően kis delták esetén viszonylag jó közelítést kapunk a mozgásra.

Innentől lép életbe a matematika, ami nagyon szépen tudja kezelni ezeket dolgokat. Ugyanis azt mondjuk, hogy vizsgáljuk azt az esetet, amikor a delta(t) időközt már minden határon túl finomítjuk. Ezt úgy hívják, hogy differenciálisan kicsiny.

Vagyis képezünk egy olyan határátmenetet, amikor delt(t) tart valamilyen dt-hez és delta(s) pedig ds-hez.

Itt dt és ds jelenti a differenciálisan kicsiny mennyiségeket, amellyel eredeti egyenletünk a

ds=v*dt

alakot ölti.

Tegyük fel, hogy a sebesség v=a*t alakba írható, és legyen az a gyorsulás időben állandó, ekkor

ds=a*t*dt.

Ez tulajdonképpen az s(t)-re nézve egy elsőrendű, lineáris, közönséges szeparábilis differenciálegyenlet, melynek integrálásával azonnal adódik az

s=0.5*a*t^2+v0 összefüggés.

Na de ezt nem azért írtam, hogy eltántorítsalak, biztos jön majd néhány hozzászóló, hogy minek írok ilyeneket, mikor a kérdező nem tudja mi az a diffegyenlet.

De akkor miért írtam?

Pusztán azért, hogy lásd, hogy ezek a függvénytáblázatos képletek csak végképletek, és ezek matematikailag adódnak ki.

Középiskolában azért csak ezeket tanítják, mert a korrekt levezetésekhez tartozó matematikai ismeretek nem állnak rendelkezésre.

Megjegyzem, hasonlóképp szinte majdnem minden "energia jellegű" mennyiség hasonló okok miatt kap 0.5-ös szorzót.

A teljesség igénye nélkül, pl. egy rugóban tárolt energia 0.5*D*[delta(L)]^2, egy kondenzátorban felhalmozható energia 0.5*C*U^2, vagy éppen egy villamos tekercsben tárolt energia 0.5*L*I^2, és még lehetne hosszasan folytatni.

Persze ezek a képletek is csak idealizált esetekre igazak, pl. feltételezni kell, hogy ezek az elemek "lineárisak" vagy éppen "koncentrált paraméterűek" stb. Ezekkel a feltételezésekkel pedig két dolog miatt élünk.

Az egyik, hogy így viszonylag jól közelítjük a valóságot, a másik meg az, hogy az adódó differenciálegyenletek így lesznek "szépek" és analitikusan megoldhatók...

Persze mindennek vannak korlátai. A klasszikus fizikában szépen kijönnek ezek a 0.5-ös szorzók.

Viszont ki ne hallot volna már pl. az E=mc^2 Einstein-féle képletről, ami szintén mozgási energiát jelent.

És bizony, oda már nem kell a 0.5 szorzó!

Úgyhogy a kérdésfelvetés teljesen jogos, hogy akkor most ez mégis hogy jön ki.

Erre megint az a jó válasz, hogy matematikailag így jönnek ki az eredmények, amit persze már számtalan méréssel alátámasztottak.

Viszont ehhez sokkal bonyolultabb és picit "másféle" matek kell, most nem részletezem.

Na remélem kimerítő a válasz és adott egyféle szemléletmódot, ill. rálátást a dolgokra.

#3 precízen levezeti az s = 1/2·a·t² összefüggést egyenletesen gyorsuló mozgás esetére. Ki lehet hozni ezt az eredményt alap matekkal is:

Ilyen diagramokat biztos néztetek már:

[link]

A vízszintes tengely az idő, a függőleges a sebesség.

Az A diagram állandó sebességű mozgás. Olyankor a megtett út: s = v·t. Az ábrán ez éppen a téglalap területe!

A második ábra az egyenletesen gyorsuló mozgás, ahol a sebesség egyenletesen nő: v = a·t. Egy adott pillanatban ha egy rövid ideig azonosnak vesszük a sebességet, akkor egy ilyen téglalapot kapunk:

[link]

A rövid idő alatt megtett út s₁ = v₁·Δt₁, ami ennek a kis téglalapnak a területe. Ha sok ilyen pici téglalapra bontjuk, ezeknek az összege éppen a háromszögnek a területe lesz.

Ha a végső sebesség v, akkor ez a terület (v·t)/2. Mivel v = a·t, ezért s = 1/2·a·t²

Nem egyenes alakú idő-sebesség diagram esetén is a görbe alatti terület adja a teljes megtett utat.