A p (n) = p (0) + k*210 prím-sorozatból van ennél hosszabb is?

Meddig ellenőrizted?

Nekem csak 540 millióig vannak most kéznél a prímek, addig nincs hosszabb (de lehet, hogy te tovább nézted?)

Most már értem, de most se korrekten definiáltad.

(Egyelőre eltekintek p(0) kiértékelésétől.)

Ha p(0) egy rögzített prím, akkor p(n) = p(0) + n*210 esetén pl p(2) = p(0) + 2*210, p(3) = p(0) + 3*210 stb.

De mennyi p(0) ? (A definíció szerint járok el, ahogy definiáltad a függvényt)

p(0) = p(0) + 0*210 = p(0) = p(0) + 0*210 ... (végtelen rekurzió, valódi számigepépen megpróbálva a kiértékelést stack overflow hibával leáll (előbb utóbb elfogy a stack). Matematikailag a függvény sehol sem értelmezett.)

Ha hozzáveszem az külön feltételt akkor (ahol RP egy rögzített prím:

Ha n nem 0 akkor

p(n) = p(0) + n*210

különben

p(n) = PR

Akkor mindenhol értelmezett, de köze sincs a kérdéshez.

------

Korrektül a kérdés:

Legyen Z0 -> Z0 képező f(n) függvény (nemnegatív egész számok halmaza az értékkészlet és az értelmezési tartomány is) Az f(n) függvény mely minden n-hez egy olyan értéket rendel ahány elemű n-től n+210*k növekvő sorrendbe bejárt halmaz ahol k addig futja be a Z0 halmazt ameddig n+210*k prím.

Igaz e hogy az f függvény maximuma 10? (A 199 helyen veszi fel ezt az értéket.)

(Z0 jelentse a nemnegatív egész számok halmazát)

-----------

1 milliárdig teljesen végignézve nem találtam 10-nél nagyobb értéket. Nagy számokra is futtattam:

f(1 285 169 456 057) = 8

f(1 797 154 642 776 718 409 456 055 183 787) = 5

Nem sokat játszottam a keresési paraméterekkel csak néhányat kipróbáltam (miközben dolgozott a gép meg mentem fürödni).

2.1 milliárdig van 103 millió prím, azok között nincs hosszabb sorozat. 10 hosszú is csak 3 van ezekkel a kezdő prímekkel:

199, 243051733, 498161423

Ez a 210 nagyon érdekes számnak tűnik. Ha 2-től kezdve mindenféle páros távolsággal nézzük a hasonló tulajdonságú prím sorozat hosszakat, nem kapunk túl sok hosszú sorozatot. 6 hosszú viszonylag sok van, utána szinte semmi, csak 10 hosszú lesz a 210, 420, 630, stb. távolságokra, nem csak a 210-re. Úgy tűnik, hogy minden 210·n távolságra, és csak azokra, 10 hosszú prímsorozatot kapunk! Ráadásul minél nagyobb az n, annál több 10 hosszú sorozat van. Pl. 1050 távolsággal nézve 8 darab 10 hosszú sorozat is van 2.1 milliárdig.

Néztem annak a gyakoriságát, hogy p és p+X is prímek. Tipikusan 7% körüli gyakoriságok jöttek ki páros X-ekre, de X=210·n esetén 20,76% a gyakoriság (2.1 milliárdig) minden n esetén, amiket néztem. A gyakoriság további tizedesjegyeiben már változás van, de az első 2 tizedesig stabilan ugyanekkora százalékok jönnek ki.

Érdekes még, hogy hol vannak 7%-tól különböző értékek. 2·3·n távolságokra 13% körüli gyakoriságok vannak, 2·3·5·n távolságoknál 17%, körül, utána jön a 2·3·5·7·n = 210·n, amire 21% körüli gyakoriság jön ki.

A következő izgalmas távolság gyanúm szerint a 2·3·5·7·11·n = 2310·n lehet. 2310-es távolságra a prím párok gyakorisága 23%, tehát tényleg több. A sorozathossz is több 10-nél: 2.1 milliárdig 11 hosszúakat is találtam ezekkel a kiinduló prímekkel:

60858179, 186874511, 291297353, 1445838451

Lehet, hogy ha nagyobb prímekkel is megnézném, hosszabb is lenne, de az most nem megy.

Nagyon éjszaka volt már, amikor az előzőt írtam, hogy nem esett le akkor rögtön, hogy ezen az úton kicsit továbbmenve bizonyítható is, hogy 210-es távolsággal nem lehet 10-nél hosszabb prím sorozat. Ugyanis a 11-es maradékosztályban 10 nem 0 maradék van.

2310-es differenciánál 13 a következő prím, tehát olyanból max 12 hosszú sorozat lehet. Valószínű ki is jönne olyan is nagyobb prímekkel...

Érdekes sejtés akkor ezek alapján, hogy

bármely prím n-re a prod(p| p prím, p<=n) létezik olyan p(0), hogy p(0)+k*n prím k=0,...,n-1-re