Jó a bizonyítás? (lent)

Bizonyítsuk be, hogy 4k-1 alakú számok nem írhatók fel két négyzetszám összegére.

Két négyzetszám összege páros és páratlan számokból háromféle alakot ölthet:

páros+páros

páros+páratlan

páratlan+páratlan

A páros-páros esetben valóban lehetetlen, mert (2n)^2=4n^2, vagyis osztható néggyel(, és 4k-1 nem).

páros-páratlan eset:

Belátjuk, hogy páratlan szám négyzetét megelőző szám osztható néggyel.

n^2 -1= (n-1)(n+1), itt mindkét tényező páros, tehát a szorzat, így a bal oldali kifejezés is osztható néggyel.

Az összeg tehát eggyel nagyobb egy néggyel osztható számnál, az állításban szereplő azonban eggyel kisebb.

Ezzel is készen vagyunk, már csak a páratlan-páratlan eset van hátra.

Itt az összeg páros, 4k-1 viszont páratlan, így készen is vagyunk.

Q.E.D.