Legyen N a legkisebb olyan szám, amelynek 1001 osztója van. N osztóit összeszorozva M jegyű számot kapunk. Mennyi az M/17 osztás maradéka?

Mivel pozitív egész számokról beszélünk, ezért az 1 triviális osztó kell nekünk, ami 1. Ez egyjegyű.

Akkor az 1/17 osztási maradékot kell venni:

És M mod 17=1 mod 17=1

Ó :D

Kicsit félreértettem xD

Nem értem, hogy az első válasz miért lenne jó... az 1-nek nincs 1001 osztója.

1001 = 7·11·13

Vagyis N = a^6 · b^10 · c^12, ahol a,b,c prímszámok.

Ez akkor a legkisebb, ha c=2, b=3, a=5:

N = 2^12 · 3^10 · 5^6

Osztói:

2 hatvány osztók szorzata = 2^( 12·13/2 ) = 2^78

3 hatvány osztók szorzata = 3^( 10·11/2 ) = 3^55

5 hatvány osztók szorzata = 5^( 6·7/2 ) = 5^21

Az 1001 darab osztó közül 11·7 alkalommal nincs 2-es tényező. A maradék 12·11·7 alkalommal van, mégpedig 11·7 alkalommal egy darab 2-es, 11·7 alkalommal 2², stb. Ezeknek a szorzata 2^(11·7·78) = 2^6006

Hasonlóan, a 3-asok szorzata 3^(13·7·55) = 3^5005

Az 5-ösök pedig 5^(13·11·21) = 5^3003

Tehát N osztóinak a szorzata 2^6006 · 3^5005 · 5^3003

A folytatást rád bízom.

Jó.

> tehát N osztóinak a szorzata N^(1001/2) ?!

> Ez csak véletlen? :D

Természetesen nem :)

Ha jobban belegondolsz a levezetésbe, látszik, hogy ez törvényszerű. Ha N-nek k osztója van, akkor N osztóinak a szorzata N^(k/2).

Van rövidebb bizonyítás is:

Ha N nem négyzetszám:

N-nek k osztója van, k páros. Ha az egyik osztó d, akkor d'=N/d is osztó. Tehát mindegyik osztónak van egy párja úgy, hogy a kettőnek a szorzata éppen N. Vagyis a szorzatuk N^(k/2).

Ha N négyzetszám:

√N is osztó. A többire megint fennáll, hogy párban állnak úgy, hogy d·d' = N = √N·√N. Tehát szorzatuk √N^k.