Ha a valós számok halmazán indulunk el a számolásban, akkor pl. az 1 és 2 számok között végtelen a számok mennyisége?

Még csak valós sem kell.

Bármely két különböző racionális szám között is végtelen sok racionális szám van!

(Irracionálisból meg még sokkal több, mint racionálisból.)

Egy végtelen számolás nem tudom, hogy "végződhet" bármilyen számmal! :D

Nem fog "vegzodni", mert meg "elkezdeni" se tudod, melyik szam kovetkezik 1 utan hm?

A valos szamok halmaza megszamlalhatatlan szamossagu vegtelen. (A racionalis megszamlalhatoan vegtelen, de most ebbe ne menjunk bele...)

Igen, két bármilyen egymástól különböző szám – valós, racionális, egész, egyre megy – között végtelen számú valós szám található. Sőt ennek a végtelen halmaznak a számossága nagyobb, mint a természetes számok számossága. Lásd: [link]

Magyarán nem lehet minden valós számhoz hozzárendelni egy természetes számot.

Tehát 1 és 2 között megszámlálhatatlanul végtelen sok valós szám van. Tehát nem lehet őket sorba venni és megszámolni, azaz felsorolni, azaz nem végződik 2-vel ez a felsorolás, megszámolás, mert nincs mód a felsorolásra, megszámolásra.

Inkább értelmezhető úgy ez, mint halmaz. az 1 és 2 közötti valós számok halmaza végtelen. Bár két elem között el lehet dönteni, hogy melyik a nagyobb, azt viszont nem, hogy a halmazban melyik az őt követő, vagy őt megelőző elem. Magyarán tudom, hogy 0,682 és (√2)/2 közül melyik a nagyobb, de azt nem, hogy 0,682-t melyik valós szám követi, és melyik előzi meg.

Persze ez a véges halmazokhoz, véges mennyiségekhez szokott agyunk számára elsőre nehezen értelmezhető. Másodikra is. De némi gondolkodással, elemzéssel azért megérthető a végtelen működése, annak törvényszerűségei. De inkább megszokni lehet ezt, mint megérteni.

Pl. Tegyük fel, van egy végelen számú szobából álló szálloda, ahol az ajtók be vannak szépen számozva. A szálloda teltházas, azaz minden szoba foglalt. Ekkor jön egy vendég, és szobát kér. A recepciós azt mondja, megoldható a dolog. Az első szobából a vendég átmegy a másodikba, a másodikból a harmadikba, a harmadikból a negyedikbe. Így az első szoba felszabadul.

Persze itt szokott jönni a kérdés, hogy az utolsó szobában lakóval mi lesz? Ő hova megy? De végtelen számú szoba van, ahogy a nevében is benne van, nincs vége a szobák sorának, nincs utolsó szoba. Ha lenne utolsó szoba, annak lenne egy sorszáma, és akkor véges számú szobáról lenne szó. Még akkor is ha ez a szobaszám irdatlanul nagy, egymilliárd, 10^100, 10^(10^100), vagy az elképzelhetetlenül nagy Graham-szám, akkos is egy véges szám lenne.

A szállodás példa pont azt reprezentálja, hogy ∞ + 1 = ∞

De vannak még furcsaságai a végtelennek, amihez a végeshez szokott agyunk nincs hozzászokva. De ha a megfelelő részletre koncentrálva vizsgálódsz, akkor megértheted ezeket a furcsaságokat.

@Tom Benko:

Ha nem a szokásos értelemben vett rendezést vesszük akkor lehet rákövetkezője.

Ne mondja senki hogy a szokásos rendezés szerint van rákövetkezője mert a ]1..2] halmaznak nincs legkisebb eleme.