Ez egy végtelenül filozófikus kérdés?

Végtelen egyes lesz benne, hiszen végtelenszer végtelen = ugyancsak végtelen. Azaz simán belefér a végtelen 1-es, és benne is lesz.

Az eltén minden matematikus tanonc ilyen állításokkal (is) foglalkozik a halmazelmélet keretein belül.

Ha érdekel játszadozás a végtelennel: [link]

Nézzük számokkal:

Adott egy 1000 számból álló halmaz. Ennek minden egyes eleme egy teljesen véletlenszerű szám 1 és 1000 között.

Vajon ennek a halmaznak hányszor lehet eleme az 1-es szám? A várható értéke nyilván 1.

Adott egy 10^100 számból álló halmaz. Ennek minden egyes eleme egy teljesen véletlenszerű szám 1 és 10^100 között.

Vajon ennek a halmaznak hányszor lehet eleme az 1-es szám? A várható értéke nyilván 1.

Ez alapján azt mondanám, hogy végtelennél is 1. De a végtelen nem egy szám, hanem számosság.

A fentihez hasonló módszerrel persze 1 helyett a 0-hoz, vagy végtelenhez is el lehet jutni:

Adott egy 1000 számból álló halmaz. Ennek minden egyes eleme egy teljesen véletlenszerű szám 1 és 1000^2 között...

vagy

Adott egy 1000^2 számból álló halmaz. Ennek minden egyes eleme egy teljesen véletlenszerű szám 1 és 1000 között...

:D

"Univerzum = végtelen elemet tartalmazó halmaz "

Ez eleve hibás feltevés. Az univerzum végtelensége nem azt jelenti, hogy végtelen anyag van benne (inkább geometriailag végtelen, mint a Möbiusz-szalag). Nagyon is véges anyag van benne, ami véges számú bolygót jelent, amiben sokkal szűkebb az élet kialakulásához megfelelő bolygó. Ráadásul az, hogy egy bolygón X valószínűséggel alakul ki az élet, az nem azt jelenti, hogy már kialakult, vagy ha kialakult, nem biztos, hogy még mindig létezik.

A halmaz fogalmával nincs tisztába a kérdező és ezt észre sem vettétek. Ezen kívül is látszik, hogy laikus válaszok, vannak válaszok melyeknél kapizsgál valamit a válaszadó pl az első válaszadó. Vannak teljesen rossz válaszok is. Egy halmazba egy elem vagy benne van vagy nincs, nem lehet 2x benne egy elem hiszen akkor nem halmaz. Pl ha visszaemlékszünk a halmaz műveletekre, unió, metszet, különbség ... azokból triviálisan következik.

Úgy is el lehet képzelni egy halmazt,hogy az univerzum halmaz elemeihez hozzárendel egy számot ami 0 vagy 1, 0 ha nincs benne, 1 ha benne van. Ez a leképezés adja meg, hogy egy elem eleme e az adott halmaznak.

Attól függ hogy van megkonstruálva a véletlen halmaz vagy van benne 1-es vagy nincs. Pl legyen az univerzum halmaz a nemnegatív valós számok halmaza. Egy bármely szám (0 és végtelen között) 50% valószínűséggel legyen eleme a véletlen halmazomnak. Ekkor az 1 50% valószínűséggel eleme, jelen esetben legyen eleme. A halmaz elemeit nyilván nem lehet felsorolni, de ha mondasz egy számot akkor az eleme-e függvény megmondja hogy eleme e az a szám.

Amit a kérdező ír az nem halmazkonstrukció akar lenni hanem sorozatkonstrukció. Pozícióról ír, a pozíció a sorozat valahanyadik elemének felel meg.

Az ha igazságosan kell felvenni az említett végtelen intervalumból számokat (márpedig a kérdező implicit feltette) és az egész számok közül választhatunk, akkor már itt el kell vetni a gondolatmenetet, ugyanis ez lehetetlen. Tfh lehet ekkor 10x nagyobb az esélye hogy 0-99 intervallumba esik a szám mint a 0-9 intervallumba, ennél is 10x nagyobb esélyel 0-999 intervallumba stb. Az jön ki hogy a számnak végtelenül nagynak kéne lenni, csak 0 valószínűséggel lesz véges értékű. Márpedig minden szám véges értékű lehet csak. ==> Ellentmondás. (Természetesen igazságtalanul választhatunk véletlenszerűen.)

A következő hogy akkor hogy az említett végtelen intervallumban lévő számok az ott levő összes valós szám. Nem lehet egyenletes eloszlással választani hasonlóan mint az egész számoknál ami ellentmondás volt, itt is az lenne. Viszont igazságosan úgy hogy minden számnak egyenlő esélye legyen lehet véletlenszerűen választani mégis, ha 0-végtelen intervallumot felosztjuk egyenlő méretű intervallumokra pl [0..1[, [1..2[ stb (lehettek volna más méretűek is) az hogy melyik intervallumba fog esni intervallumra tekintettel igazságosan nem lehet "sorsolni", de valós számra való tekintettel még is lehet (most nem írom le, hosszú, de ha kell akkor leírom majd). Sorsoljunk így egy lehetséges módon (végtelen féle módon lehetséges igazságosan sorsolni, mi ezek közül egy lehetséges módon sorsolunk). Úgy csinálom, hogy mondasz egy sorszámot ( a sorozat hanyadik eleme) én ehhez generálok egy valós számot véletlenszerűen a 0-végtelen intervallumból ha még nem mondtad azt a sorszámot, ha mondtad már akkor eltároltam hogy korábban mi tartozott ahhoz a sorszámhoz és ugyan azt mondom most is. Ekkor meg az lép életbe amit az első hozzászóló írt. Máshogy fogalmazva ekkor 0 valószínűséggel tartalmazza a véletlen sorozat az 1-es számot.

"Tfh lehet ekkor 10x nagyobb az esélye hogy 0-99 intervallumba esik a szám mint a 0-9 intervallumba, ennél is 10x nagyobb esélyel 0-999 intervallumba stb. Az jön ki hogy a számnak végtelenül nagynak kéne lenni, csak 0 valószínűséggel lesz véges értékű."

Nem szóltatok, itt abból, hogy 10x akkora az esélye abból nem következik, vagyis nem abból kellett volna kiindulni, de ettől függetlenül, igaz, hogy "0 valószínűséggel lesz véges értékű" azaz lenne mivel végtelen nem lehet. Pár éve felmerült és megbeszéltem ezt egy progmatos haverommal (aki mellesleg nagyon jó volt matekból az egyetemen is). Én ebből kiindulva sejtettem a helyes választ pár éve ahogy múltkor írtam.

Az hogy a 0-9 intervallumba essen 0 az esélye, az hogy a 0-99 intervallumba essen annak is nulla, 10x0 is 0, 10x10x0 is 0 stb.

Precízen matematikailag korrektül megfogalmazni még nehezebb lenne mint amilyen nehéz dologról van szó.

Máshogy közelítem meg a kérdést az egyszerűség kedvéért nem precízen matematikus módjára fogalmazok, de a lényeg ugyan az attól.

Tegyük fel, hogy lehet nemnegatív egész számot igazságosan randomba generálni. Legyen a szám tízes számrendszerbe felírva a szokásos módon. Hogy néz ki a szám? az egyes helyi értéken 0-tól 9-ig egy számjegy egyenlő valószínűséggel randomba, a tízes helyi érték ugyanez, a százas,ezres,tízezres stb helyiértéken szintén.

Melyik a legnagyobb helyi értéke a számnak? Nincs ilyen, ezért lenne végtelen a szám ami nem lehet ==> Ellentmondás.

Akkor kapnánk véges értéket ha egy véges helyi érték után, 0 lenne utána 0 0 0 0 0 ... a végtelenségig. Ennek a valószínűsége nulla, könnyen kiszámolható, de szemléletesen is belátható. Úgy hogy egy egyenletes eloszlású random generátor 0-9 ig generál számokat (ezen számokból rakjuk össze a számunkat) és egyszer csak mindig 0-át ad vissza, de szó sincs arról természetesen, hogy rossz lenne a random generátorunk, csak tisztán véletlenül így generál.

Ha nemnegatív valós számokat akarunk generáltatni a teljes tartományon akkor ugyan ez a helyzet, csak ott a számnak törtrésze is van, azaz a tizedes vesszű után nem csak 0-ák vannak. Ezért intervallumra tekintettel nem lehet igazságosan generáltatni, de valós számokra való tekintettel mégis lehet ahogy már írtam, ha érdekel akkor leírom, hogy lehet.

Annyit még hozzá kell tennem, hogy matekba olyat nem mondunk, hogy 1:∞ esély, hanem azt mondjuk hogy 0 esély. Igen ez ugyanaz a 0 amit iskolába tanítanak, csak egy féle 0 van. Minden nemnegatív valós számnak 0 az esélye, igen 0 az is hogy -1 lesz, pedig csak nemnegatívat generálunk. Továbbá ugyanúgy 0 ha 2x vagy 10000x próbálkozunk hogy pl 1 lesz legalább 1x. Sőt ugyanúgy 0 az esélye hogy a végtelen tagú random sorozatunkba egyáltalán előfordul. Tudom, hogy fura, valszám órán és is meglepődtem még akkor. A különbség csupán annyi hogy -1 lesz vagy hogy 1 lesz, hogy van olyan elméleti eset hogy 1 lesz (azaz eleme az eseménytérnek), viszont nincs olyan elméleti eset hogy -1 lesz (azaz nem eleme az eseménytérnek). Mégis az esélyük egyenlő. Mivel minden szám esélye egyenlő azaz nulla esélyű, de mégis lesz valami szám hiába 0 az esélye hiszen valaminek kell lenni. Az viszont 100% ,hogy egy valós szám lesz ott.

El kell fogadni, hogy teljesen más tulajdonságai vannak a végtelennek mint a végesnek.

Itt egy mese mely a végtelen furcsaságait demonstrálja : [link]

Érthető volt? Lehet kérdezni.

Én sem értek igazából a halmazokhoz, de Hilbert szállodás balhéjában megakadt valamin a szemem, idézek:

"De képzeljünk el egy olyan szállodát, amelynek végtelen sok szobája van, azaz a szobaszámok 1-től kezdve folyamatosan növekednek, és nincs olyan szoba, amelynél ne lenne nagyobb számú. A szállodának van egy hangosbemondórendszere is, amelyen keresztül a portás az összes szobavendégnek tud üzenni egyszerre. Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt,"

Ha az összes szoba megtelt, akkor nem végtelen számú szoba van a szállodában. Ha viszont végtelen számú szoba van benne, akkor meg soha nem fog megtelni. Én ezt a paradoxont látom az egész weboldalnyi eszmefuttatásban, semmi többet. Ilyen - szerintem hibás feltételezésen alapuló - kiindulási "axiómákból" bármikor bármilyen paradoxont lehet kreálni, és még csak a végtelen fogalmára sincs feltétlenül szükség hozzá.

Mindezek mellett, a világunk az univerzumunk, amely viszont erősen véges számú elemet tartalmaz bármiből, amit csak tartalmaz. Egy alapvetően véges számú elemekből felépülő világon belül pedig szerintem egyszerűen nincs is értelme végtelenről (mint számosságról) beszélni, vitázni, legfeljebb filozófiai értelemben, aminek sok értelmét nem látom az esti sörözés melletti szórakozást, időtöltést kivéve :)