Ez egy végtelenül filozófikus kérdés?

"Utolsó, te fel tudod fogni azt hogy egyszer csak vége van és nincs tovább?"

Fel. Például fel tudom fogni, hogy a mai napnak nemsokára vége van, és nincs tovább. Sőt, az irományomnak is hamarosan vége lesz, és az sem lesz tovább :)

"de az anyagon túl is lennie kell valaminek, "

Nem KELL lennie. Lehet, hogy van, lehet hogy nincs, ezt egyelőre nem tudjuk. De semmiféleképpen sem KELL lennie az anyagon túl valaminek, miért is kéne? Az univerzum és a saját vágyaid az két különböző dolog. Az univerzum olyan amilyen, és nem olyan, amilyennek szeretnénk, hogy legyen.

Amúgy mit értesz az alatt pontosan, hogy "az anyagon túl is kell lennie valaminek"?

" nem lehet egyszerűen vége. "

A kör vonalának sincs soha vége, még sincs semmi egyéb a "kör vonalán túl".

Kétféle végtelen létezik: az egyik geometriai, a másik számtani (számossági). A geometriai végtelent nem nehéz megragadni, mert viszonylag gyakran találkozunk vele életünk során. Számossági végtelennel viszont soha nem találkozunk, mivel ilyen nem is létezik univerzumunkon belül. Univerzumunkon kívül pedig halványlilánk sincs, hogy mi van, ha egyáltalán van valami, és ha egyáltalán létezik olyan, hogy univerzumunkon kívül. (Gyaníthatóan igen, de erről az égadta világon kívül semmit sem tudunk.)

"Ha az összes szoba megtelt, akkor nem végtelen számú szoba van a szállodában. Ha viszont végtelen számú szoba van benne, akkor meg soha nem fog megtelni. Én ezt a paradoxont látom az egész weboldalnyi eszmefuttatásban, semmi többet. Ilyen - szerintem hibás feltételezésen alapuló - kiindulási "axiómákból" bármikor bármilyen paradoxont

lehet kreálni, és még csak a végtelen fogalmára sincs feltétlenül szükség hozzá."

Nincs itt semmi paradoxon valójában se hibás feltételezés. Az egyetemen tanított halmazelméleti fogalmakkal kell tisztában lenni és absztrakt szinten kell átgondolni. A megszámlálhatóan végtelen fogalmának egy szemléletesen bemutatott tulajdonsága. Az hogy az összes szoba betelt az semmit nem mond arról, hogy véges szoba van e vagy végtelen sok. Egy szoba az egy objektum, az hogy betelt e azaz objektumnak egy tulajdonsága. Implicit feltételezzük naivan, hogy a megkonstruált végtelen Hilbert hotel kezdeti állapotában minden szoba üres, holott kezdeti állapot lehet hogy minden szoba foglalt. A szobák a természetes számok elemeinek egy-egy izomorf reprezentánsa. Minden szobának van olyan tulajdonsága , hogy a szoba foglalt e, ami nem más mint a szobák halmazából egy {0,1} kételemű halmazba való leképezés.

"Mindezek mellett, a világunk az univerzumunk, amely viszont erősen véges számú elemet tartalmaz bármiből, amit csak tartalmaz. Egy alapvetően véges számú elemekből felépülő világon belül pedig szerintem egyszerűen nincs is értelme végtelenről (mint számosságról) beszélni, vitázni, legfeljebb filozófiai értelemben, aminek sok értelmét nem látom az esti sörözés melletti szórakozást, időtöltést kivéve :)"

Teljesen egzakt dologról van szó. Itt csak a laikusok részéről fordulhat elő hogy nem ért egyet, de valójában nem is ért hozzá mélységében. Minden természettudomány támaszkodik a matematikára, a matematika csak önmagára támaszkodhat. Nem ritka pl fizikában olyan matematikai modell mely kilép a való világban értelmezett dolgokból, vagyis olyan megoldása is van a modellnek mely a valóságban lehetetlen, azért szeretik ezt használni, mert így gyakran könnyebben megtaláljuk a valóságnak is megfelelő tulajdonságot/objektumot. 100 évvel ezelőtt meg régebben fogalmuk sem volt, hogy mi a gyakorlati haszna vagy egyáltalán lesz e a 150 jegyű prímszámoknak. Ma már tudjuk, hogy van és felhasználjuk titkosított adatátvitel céljából.

Gyakran egy matematikai bizonyítás rövid, mert felhasznál, mondjuk 4 lemmát. Ezek a lemmák is felhasználhatnak más lemmákat. Előre nem tudható, hogy más valaminek a bizonyításában hogy lesz felhasználva egy lemma.

"Számossági végtelennel viszont soha nem találkozunk, mivel ilyen nem is létezik univerzumunkon belül. "

Közvetlenül valószínűleg nem, de közvetetten pl valószínűségszámításban.

"Kétféle végtelen létezik: az egyik geometriai, a másik számtani (számossági)."

A függvénytani az már nem is számít? A számossági végtelenből eddig kettőről volt szó, a megszámlálható és a kontinuum végtelenről. Attól függ, hogy csoportosítjuk, hogy hány féle van. Lehet úgy is, hogy Kétféle van: a számossági, nem számossági.

Valóban laikus vagyok a témában, és ez olyan része a matematikának, ahol már a józan paraszti ésszel sem megy sokra az ember. Legalábbis én nem, mert tényleg nem tudok mit kezdeni a végtelen számú szobával bíró szállodával. Ha egyszer megtelt, akkor hogy lehet üres szoba benne? Ha pedig van benne üres szoba, akkor hogy telhetett meg? Vagy van üres szoba, vagy nincs üres szoba, számomra ez a kettő kizárja egymást. Ez nem olyan mint a kvantummechanikai hullámfüggvényes balhé, hogy egy kvantumszálloda kvantumszobái mindaddig az üres-teli szuperpozíciójában leledznek, míg a szoba foglaltsági minőségét leíró hullámfüggvény összeomlását követően rá nem kényszerül a kvantumszoba, hogy egzaktul elfoglalja valamelyik értéket.

Tehát hiába végtelen számú szoba van benne, ha egyszer megtelt, akkor az azt jelenti, hogy nincs benne több üres hely, akármennyire nagyon végtelen számú szobából is áll. Legalábbis számomra.

Elfogadni el tudom, hogy van benne üres szoba, ha megtelt. De ezen ütközés elfogadását követően az agyam automatikusan átkapcsol egy amolyan "szürke" üzemmódba, ahol bármit el tud fogadni, és annak az ellenkezőjét is, sőt, ezt a kettőt egyszerre is akár. Sőt, mindennek az egésznek a tetején még ott ücsörög Jézus is és lóbálja mind a 79 lábát miközben sárga céklából csavaroz spanglit magának a fülével :D De hogy mindezt komolyan is tudjam venni, azt megakadályozza ez a szürke műveleti mód.

"Ez nem olyan mint a kvantummechanikai hullámfüggvényes "...

Egzaktul definiált, minden szoba hogy foglalt e. Ha már fizika akkor megemlítem, hogy statisztikus fizikába is előjönnek végtelen számosságok statisztikai fizikai számítások szerint végtelen sok részecske van. A valóságban nagyságrendileg Pl. tíz a huszonötödiken részecske van, ehhez ugyanennyi differenciálegyenletet kéne megoldani ami számítástechnikai lehetőségeket tekintve is lehetetlen. Ezeket a diff. egyenleteket nem hogy megoldani de még felírni sem tudjuk, ahhoz kéne ismernünk a kezdeti állapotát minden részecskének. E helyett egy egyszerűsített modellt használnak, úgy számolnak, hogy végtelen sok részecske van, az nem érdekes, hogy az egyes részecskékkel mi van, a lényeg hogy statisztikailag a sokasággal mi lesz. Közelítőleg kiadja, hogy mi lesz mintha végigszámoltunk volna annyi diff. egyenletet.

"Elfogadni el tudom, hogy van benne üres szoba, ha megtelt."...

Igazából nem elfogadni hanem megérteni kell. Ez nem önkényesen felállított dogma hanem egy ellentmondásmentes logikai konstrukció. A természet leírásának a nyelve a matematika. Igaz, hogy nincs végtelen szobás hotel a valóságban, de a matematika többet tud mint amit ténylegesen visszatükröz a valóságba.

"Ha egyszer megtelt, akkor hogy lehet üres szoba benne? Ha pedig van benne üres szoba, akkor hogy telhetett meg? "

Nagyon jók a kérdések. Itt valójában halmazokról van szó és azok közötti leképezésről. Számhalmazokra szokták alkalmazni, de a matematika megengedi hogy nem csak számhalmazokra alkalmazzuk, a szobák lényegében számok a vizsgáltatunk szempontjából. Vagyis a sorszámozott szobák halmaza és a természetes számok halmaza izomorf.

Ha előveszünk egy egyetemi diszkrét matek könyvet és megkeressük végtelen számosságról szóló részét ott le van írva precízen pl. hogy két halmaz számossága mikor egyezik meg.

A szobák meg vannak sorszámozva 1,2,3... és nincs legutolsó szoba. Mennyi szoba van? Megszámlálhatóan végtelen mert a szobák megszámlálhatóak azaz mindegyik szobához rendelhető egy egyedi szoba sorszám ami egy természetes szám. A szobáktól vonatkoztassunk el. Legyen a természetes számok halmaza. Van egy leképzés mely minden elemhez önmagát képezi le, ez az identikus leképezés. Itt minden természetes számot megsorszámoztam tulajdonképpen, a sorszáma itt önmaga. Ha a 0-át is beleveszem sőt a -1-et is és az összes természetes számot akkor vajon ezeket mind meg tudom sorszámozni?

A válasz meg: első a -1, a második a 0, a harmadik az 1, stb. Természetesen másmilyen sorszámozási sorrend is megengedett, én csak a legkézenfekvőbbet vettem. Azt hinné az ember, hogy az összes egész számból több van mint a természetes számokból, hiszen minden természetes szám egyben egész szám is és végtelen sok egész szám van ami nem természetes szám. Az egész számok is megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, hiszen mindet meg tudom sorszámozni.

Pl.:

1 => 0

2 => 1

3 => -1

4 => 2

5 => -2

6 => 3

7 => -3

8 => 4

9 => -4

stb.

Nincs olyan egész szám, hogy hoppsz ennek már nem jutott sorszám.

Def.: Két halmaz számossága akkor egyezik meg ,ha létezik köztük bijektív függvény azaz létezik köztük kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

Ez a definíció általánosan igaz, hiszen véges és végtelen halmazokra egyaránt igaz.

Bizonyított hogy a valós számok és a természetes számok között nem létezik bijektív függvény => a valós számok számossága még végtelenebb.

Viszont a valós számok teljes tartománya és a valós számok bármely nem nulla méretű intervalluma között létezik bijektív függvény.