Hogyan lehet számológéppel kiszámolni szumma gyök (n) ill.  szumma köbgyök (n) értékét NAGY számokra, 0, 01 pontossággal?

A szummás képlet az integrálosnak a felső közelítő összege, szóval hozzáadni kell még, nem kivonni a

2/3·√n³-ből.

Tetszik a dolog, honnan vetted a képletet? Megpróbálom levezetni:

A képleted első tagja az integrálból jön, amit előzőleg írtam.

Ha nézzük a szummában az n-hez tartozó √n értéket, akkor az integrál ennyivel tér el tőle (ennyi a hiba):

                 n

h(n) = √n - ∫ √x dx = √n - 2/3 · (√n³ - √(n-1)³)

               n-1

(Ez a pontos hibaérték, nem közelítés!)

Próbálgatásokból az az ötlet jön, hogy érdemes a √n-szeresét venni:

h(n)·√n = n - 2/3·(n² - √(n(n-1)³))

Nagy számoknál érdekel ennek az értéke, ezért vegyük a határértékét a végtelenben. Meglepő, de van neki, kereken 1/4.

(Úgy jön ki, hogy a gyökös tagot sorba fejtjük a végtelenben, vagyis az x = 1/n behelyettesítéssel ezt:

    √( (1-x)³/x⁴ )

sorba fejtjük x=0 körül.

Az (1-x)^(3/2) Taylor sora egy binomiális sor: 1 - 3x/2 + 3x²/8 + x³/16 + ...

így a teljes gyök sora: 1/x² - 3/(2x) + 3/8 + x/16 + ...

vagyis n² - 3n/2 + 3/8 + 1/(16n) + ...

Ezt behelyettesítve már kijön rögtön a 2/3·3/8 = 1/4)

Szóval ez a közelítés jött ki:

h(n) ≈ 1/(4·√n)

Ezeknek a hibáknak az összege n=1-től N-ig megint csak integrálással közelíthető:

N

∫ 1/(4√x) dx = 1/2 · √N

0

Tényleg kijött a képletedben a második tag.

Az utolsó konstans tag (-0.2) már bizonyára nem elméleti számolásokból, hanem sima gyakorlatból jött ki. Annyi elmélet van azért mögötte, hogy a hiba a kis N-eknél nagy (N=1-re pl. h(1) = 1/3, nem pedig 1/4), nagy számoknál meg minél nagyobb az N, annál kisebb a hiba. Ezért egy konstans korrekciós tag széles tartományban jó.

Biztos hasonlóan lehetne a köbgyökös szumma képletét is számolni...