Mennyi a szumma k=0--> 503 (2013 alatt 4k)?

Sok:

[link]

kb. 2,3513716639216732656288423960119e+605

pontosan: 2^2011 - 2^1005 ; utóbbi elhanyagolhatóan kisebb az 1. taghoz képest

Leginkább vmi indoklás lenne jó, nem pedig behelyettesítéses számolás.

Legalábbis én arra lennék kíváncsi, tud-e valaki levezetést k=0-tól M-ig (4M+1 alatt a 4k) összegzésre?

Sejtésem van az első néhány eset alapján, de az nem elég.

2^(4M-1) + 2^(2M-1) ha M páros

2^(4M-1) - 2^(2M-1) ha M páratlan

Bevallom, én lehúztam.

Ez az eredmény sejtés alapon nekem is megvolt, de ez itt nem érdekes.

Ide egy INDOKLÁS kellene. Nem tudom, neked megvan-e, de ha megvan, miért nem írod le?

Mármost nagy nehezen, de kiizadtam egy levezetést!!!

Sok órát erőlködtem, de jó volt rájönni.

Biztos van egyszerűbb, ha van, szóljatok!

Nem egyszerű, két szálon kell elindulni, és az egyikben komplex számokat is felhasználtam.

Minkét esetben a binomiális tételt is felhasználjuk.

Az n alatt a k mennyiséget itt (n;k)-val jelölöm.

Első segédállítás:

Nézzük meg az

(1+i)^2013+(1-i)^2013

kifejezést!

Itt nem részletezem, de mindenki ellenőrizheti:

ha felbontjuk, akkor a páros sorszámú tagok váltakozó előjelű összegének kétszerese marad:

2*[(2013;0)-(2013;2)+(2013;4)-(2013;6) ...]

Viszont a kifejezés értéke pontosan meghatározható:

(1+i)^2013+(1-i)^2013=

=(1+i)*(1+i)^2012+(1-i)*(1-i)^2012=

=(1+i)*[(1+i)^2]^1006+(1-i)*[(1-i)^2]^1006=

=(1+i)*[2i]^1006+(1-i)*[2i]^1006=

=2*2^1006*i^1006=2^1007*(-1)^503

Tehát:

2*[(2013;0)-(2013;2)+(2013;4)-(2013;6) ...]=2^1007*(-1)^503

azaz

(2013;0)-(2013;2)+(2013;4)-(2013;6) ...=2^1006*(-1)^503

ez az első segédegyenlet, mindjárt jön a második

Most a páros sorszámú elemek összegét fogjuk meghatározni:

(1+1)^2013=(2013;0)+(2013;1)+(2013;2)+(2013;3)...

és

(1-1)^2013=(2013;0)-(2013;1)+(2013;2)-(2013;3)...

Ha összeadjuk a két egyenlőséget, akkor:

2^2013+0=2[(2013;0)+(2013;2)+(2013;4)...]

vagyis

2^2012=(2013;0)+(2013;2)+(2013;4)...

az első segédegyenlettel összeadva, a jobb oldalon kiesnek a 4-gyel nem osztható tagok, és 4-gyel osztható sorszámú tagok összegének kétszerese marad:

2^2012+2^1006*(-1)^503=2[(2013;0)+(2013;4)+(2013;8)...]

Ebből pedig a keresett összeg:

(2013;0)+(2013;4)+(2013;8)... = 2^2011-2^1005

... és KÉÉÉSZ!!!!

Most látom, hogy lényegében az alábbi összeg lett kiszámolva:

[(1+1)^n + (1-1)^n + (1+i)^n + (1-i)^n]/4

:)))