Hogyan lehet egy k=1-től n-ig tartó összegsorból a[n]-et megadni zárt alakban 'n' függvényeként?

Ez egy egyenlőség. Bal oldalon egy sorozatösszeg szerepel. Viszont tudjuk, hogy

szum(k=1→n) a[k] = (1+n)*n/2

(Lásd: [link]

Tehát a szumma helyére behelyettesíted ezt a képletet, és akkor ezt kapod:

(1+n)*n / 2 = 7n² + 10n

Innen már egy sima másodfokú egyenlet.

Oké, hülyeséget írtam. Mert ugye nem szum[k=1→n]k -ról van szó, hanem szum[k=1→n]a[k] -ról.

Innen viszont nem tudjuk milyen sorozatot takar az a[1], a[2], a[3] sorozat. Számtani sorozatról van szó? Mértani sorozatról? Vagy más sorozatról? Ennek ismerete nélkül nehéz lenne bármit is mondani.

#1,4: nem szamtani sorozatrol van szo, azert nem megy. Teljesen altalanos sorozat!

Kerdezonek:

Nem olyan bonyolult ez, mint aminek latszik!

Csak hogy konnyebb legyen rola irni, legyen S[n]=sum(k=1->n)a[k], szoval S[n]=7*n^2+10*n

Ha tudjuk, hogy az elso n elem osszege S[n], az elso n-1 osszege pedig S[n-1], akkor ha az elobbibol kivonod az utobbit, pont a[n] lesz a kulonbsege! Ennyi a trukk. Logikusan ha vegiggondolod, elegge adja magat.

Szoval:

a[n]=S[n]-S[n-1]=7*n^2+10*n-(7*(n-1)^2+10*(n-1))

Innentol mar siman vegigszamolod, felbontod a zarojeleket, es felirod minel szebb alakban. Szerintem innen mar menni fog, irj, ha megis elakadnal!

Oké, most vélem megérteni, hogy pontosan mi a feladat. Egy olyan sorozatot kellene megadni, aminek minden elemére igaz a fenti képlet?

Tudjuk, hogy:

S[n] = 7n² + 10n

A következő elemet hozzávéve:

S[n+1] = S[n] + a[n] = 7(n+1)² + 10(n+1)

ebből:

S[n] = 7(n+1)² + 10(n+1) - a[n]

A két egyenletet összevonva:

S[n] = 7n² + 10n = 7(n+1)² + 10(n+1) - a[n]

7n² + 10n = 7*(n²+2n+1) + 10n + 10 - a[n]

7n² + 10n = 7n² + 14n + 7 + 10n + 10 - a[n]

a[n] = 14n + 17

Tehát egy számtani sorozatról van szó:

a[1] = 17

d = 14

A sorozat: 17, 31, 45, 59, 73, 87, …

2xSü:

Egy apro eliras van a tiedben, egyebkent jo:

Nem a[n]-et, hanem a[n+1]-et szamoltad ki.

Csak a pelda kedveert nezzuk az 1,2,3,4, stb.. sorozatot (szoval a[n]=n), azonos jelolesekkel:

S[5]=1+2+3+4+5

S[4]=1+2+3+4

S[3]=1+2+3

Ha az a[4]-et keressuk, akkor az S[4]-S[3] lesz az erdekes, nem az S[5]-S[4] (szoval ha a[n] a kerdes, akkor S[n]-S[n-1], es nem S[n+1]-S[n]).