Matek: hogyan kell bizonyítani?

Bár gimiben emelt matekra jártam, nem emlékszem rá, hogy valaha is oldottunk volna meg bizonyításos feladatokat. Most gondban vagyok, mert a könyv elméleti bevezetőjében vannak példák levezetve, de ezek alapján nem jövök rá, hogy más feladatban mit kell csinálni. Szóval kérnék egy kis segítséget ezekben:

1. Igaz-e, hogy ha páratlan négyzetszámot 8-cal osztunk, 1 lesz a maradék?

2. Igazoljuk, hogy ha a és b bármely természetes szám, akkor a, b, a+b, a-b számok között van hárommal osztható!

3. Bizonyítsuk be, hogy bármely 4-nél nagyobb n egész szám esetén n és 2n között van négyzetszám! (Próbálkozzunk az indirekt bizonyítási móddal!)

4. Igaz-e, hogy ha négyzetszámot 3-mal osztunk, akkor csak kétféle maradék adódhat? (Máshogy megfogalmazva: 3k, 3k+1, 3k+2 közül milyen alakúak lehetnek négyzetszámok?)

Végezetül még kettő, amire írtam programot, így van megoldásom, de gondolom nem így kellett volna megoldani.

5. Keressük meg mindazokat a kétjegyű számokat, amelyeket ha négyzetre emelünk, négyjegyűek lesznek, és ha a négyzetszám minden számjegyét 1-gyel csökkentjük, akkor ismét négyzetszámot kapunk!

(Megoldás: 56)

6. A kétjegyű természetes számokból képezzünk háromjegyűeket úgy, hogy a két számjegyük közé egy nullát írunk. Vegyük a kétjegyű, és az azokból képezett háromjegyű számok számtani közepét.

Létezik-e olyan kétjegyű szám, amelyből kiindulva az előző módon képzett számtani közép az eredeti szám: kétszerese, ötszöröse, fordítottja?

(Megoldás: 16 (fordított), 45 (ötszörös), kétszeres nincs)