Van-e olyan n > 2 természetes szám, hogy n^n számjegyeinek száma (teljesen) kerek: 10,100,1000,10000 stb?

Találtam egy ilyen számot:

13993959^13993959. Ennek pontosan 10^8 számjegye van. Ebből azt gyanítom, hogy sok (valószínűleg végtelen sok) ilyen szám van, de egyelőre nem tudom bebizonyítani.

Ha a z szám számjegyeinek száma k, akkor a z számra igaz, hogy

10^(k-1)<=z<10^(k-1+1), tehát

10^(k-1)<=z<10^k, viszont k-nak 10^x alakúnak kell lennie, vagyis k=10^x, tehát

10^(10^x-1)<=z<10^(10^x)

z viszont n^n alakú, vagyis

10^(10^x-1)<=n^n<10^(10^x)

Rendezzük x-re az egyenlőtlenségeket; vegyük mindkét oldal tetszőleges logaritmusát, legyen a 10-es:

lg(10^(10^x-1))<=lg(n^n) /definíció

10^x-1<=lg(n^n) /+1

10^x<=lg(n^n)+1 /1=lg(10)

10^x<=lg(n^n)+lg(10) /logaritmus-azonosság

10^x<=lg(10*n^n) /lg

lg(10^x)<=lg(lg(10*n^n)) /definíció

x<=lg(lg(10*n^n)

Ez a bal oldal volt. Most jöhet a jobb oldal:

n^n<10^(10^x) /lg

lg(n^n)<lg(10^(10^x) /definíció

lg(n^n)<10^x /lg

lg(lg(n^n))<lg(10^x) /definíció

lg(n^n)<x

Vagyis

lg(lg(n^n)<x<=lg(lg(10*n^n))

Mivel k=10^x volt, ezért lg(k)=x, így

lg(lg(n^n)<lg(k)<=lg(lg(10*n^n)), eltüntetve a külső lg-t

lg(n^n)<k<=lg(10*n^n), ezt még szét lehed szedni a logaritmusazonosságokkal:

n*lg(n)<k<n*lg(n)+1

Tehát, ha megadunk egy n-t, akkor annak a fenti összefüggések használatával megadható a számjegyszáma, például, ha n=5, akkor

5*lg(5)<k<=5*lg(5)+1

3,495<k<=4,495, tehát k=4, így 5^5 számjegyeinek száma 4, és igaz is, mivel 5^5=3125, aminek 4 számjegye van.

A kollégának is ugyanez jött ki, csak ő még megcizellálta az egészrésszel:

k=[lg(n^n)]+1, ahol [] az alsó egészrészt jelöli.

Ha amit leírtam, beírod a WolframAlpha-ba, és n helyére egész számokat írsz, akkor kiadja k értékét, vagyis azt, hogy az n számnak hány számjegye van.

100.000-ig kipróbáltam, és mindig olyan jött csak ki, hogy

9

99

999

9999

99999

számjegye van a számnak (azt viszont nem jegyeztem meg, hogy milyen n-ekre volt ez; csak az utolsó van meg: n=22933-ra k=99999). Én azt gondolom, hogy k sohasem lesz 10^x alakú, ellenben tetszőleges x-re 10^x-1 darab számjegye lesz a számnak. Ezzel már csak 2 dolgot kell bebizonyítanunk:

1: Létezik olyan n^n alakú szám, hogy 9, 99, 999, 9999, ... 10^x-1 számjegye van, és tetszőleges x-re van n^n alakú szám.

2. n>2-re n^n és (n+1)^(n+1) számjegyszámainak különbsége nagyobb 1-nél.

Lehet, hogy holnap foglalkozom vele, ha más nem talál rá addig megoldást.

Első 100 megoldás:

1.-ik : 13 993 959 ;

2.-ik : 3 628 483 214 921 455 799 899 604 294 ;

3.-ik : 35 033 045 748 319 176 439 106 783 290 ;

4.-ik : 338 641 649 883 635 396 747 843 593 304 ;

5.-ik : 3 277 025 321 723 686 075 222 918 049 287 ;

6.-ik : 31 744 352 347 881 953 709 341 968 881 977 ;

7.-ik : 307 803 369 122 329 917 345 137 669 426 682 ;

8.-ik : 2 987 279 342 842 305 164 990 427 328 943 587 ;

9.-ik : 29 016 920 111 210 970 873 364 464 510 619 695 ;

10.-ik : 282 084 430 388 748 002 654 289 364 856 144 777 ;

11.-ik : 2 744 354 571 483 508 450 886 892 642 918 726 180 ;

12.-ik : 26 718 809 595 592 308 618 739 847 470 411 911 021 ;

13.-ik : 260 311 636 463 843 089 688 911 115 771 213 010 209 ;

14.-ik : 2 537 784 136 749 626 232 230 932 900 570 664 205 818 ;

15.-ik : 24 756 344 033 328 095 324 934 193 031 403 362 755 515 ;

16.-ik : 241 644 091 224 126 567 130 815 299 487 377 293 109 439 ;

17.-ik : 2 359 998 310 401 083 056 940 666 744 215 654 204 607 010 ;

18.-ik : 23 061 197 896 569 223 314 632 006 892 774 791 726 983 493 ;

19.-ik : 225 463 504 334 777 851 424 141 152 682 775 078 865 185 324 ;

20.-ik : 2 205 388 486 852 895 032 060 880 288 935 855 115 844 663 604 ;

21.-ik : 21 582 377 032 120 088 453 081 435 563 394 832 703 538 424 049 ;

22.-ik : 211 305 208 133 225 212 148 326 406 346 412 610 074 183 146 610 ;

23.-ik : 2 069 711 619 539 503 829 150 856 162 420 835 847 368 097 960 511 ;

24.-ik : 20 281 058 715 443 484 585 842 395 157 814 635 362 113 108 926 247 ;

25.-ik : 198 813 301 545 277 069 427 221 007 300 170 537 552 487 321 303 348 ;

26.-ik : 1 949 699 029 402 266 500 853 777 111 015 602 107 609 099 934 641 234 ;

27.-ik : 19 127 169 598 588 477 770 788 306 196 898 335 728 304 179 458 042 353 ;

28.-ik : 187 710 627 066 024 710 199 070 783 126 860 089 419 320 968 842 045 267 ;

29.-ik : 1 842 792 262 608 331 204 674 473 518 071 846 334 609 903 805 525 294 227 ;

30.-ik : 18 097 055 548 579 990 598 540 533 511 570 345 288 364 826 824 375 098 004 ;

31.-ik : 177 778 162 056 816 166 164 988 086 251 506 315 020 367 093 794 780 022 348 ;

32.-ik : 1 746 960 370 311 352 508 603 112 438 919 029 867 681 864 514 698 797 646 166 ;

33.-ik : 17 171 857 776 135 586 212 209 505 054 733 716 897 121 651 557 712 855 053 202 ;

34.-ik : 168 840 554 174 073 922 887 572 903 885 286 964 742 333 788 416 968 082 951 581 ;

35.-ik : 1 660 570 783 484 362 348 946 533 942 178 200 457 332 098 173 140 197 752 695 174 ;

36.-ik : 16 336 357 702 425 702 430 741 500 931 142 911 216 076 932 377 731 377 628 304 883 ;

37.-ik : 160 755 766 716 069 893 493 995 462 632 355 642 066 497 751 110 204 766 228 362 057 ;

38.-ik : 1 582 296 311 496 784 422 465 751 752 777 489 279 375 002 618 464 624 449 395 872 214 ;

39.-ik : 15 578 140 077 243 420 248 998 285 801 479 299 824 114 548 501 392 113 737 801 237 145 ;

40.-ik : 153 407 534 118 441 348 225 468 625 341 565 714 241 255 248 780 464 452 880 434 311 760 ;

41.-ik : 1 511 047 008 358 593 970 561 955 703 859 489 457 666 793 161 147 526 227 891 524 364 106 ;

42.-ik : 14 886 976 620 603 168 515 940 291 756 335 477 785 690 227 325 986 082 027 725 609 933 095 ;

43.-ik : 146 699 777 003 800 275 820 578 344 143 175 265 100 049 713 075 632 874 283 160 678 174 905 ;

44.-ik : 1 445 919 485 654 919 908 321 491 766 091 062 513 369 822 626 986 197 075 180 107 241 010 315 ;

45.-ik : 14 254 365 294 602 646 510 346 972 607 041 108 224 766 033 671 762 936 133 747 823 319 595 223 ;

46.-ik : 140 552 408 059 703 295 248 981 849 762 883 055 503 674 444 229 093 528 670 182 511 319 808 324 ;

47.-ik : 1 386 158 677 107 246 961 295 215 294 171 436 097 810 425 919 302 983 015 224 395 302 311 677 366 ;

48.-ik : 13 673 181 242 961 841 919 810 511 169 023 081 187 168 740 324 255 986 756 663 006 076 450 983 525 ;

49.-ik : 134 898 141 040 627 397 734 339 691 975 659 168 443 685 220 749 948 924 963 412 810 740 237 546 266 ;

50.-ik : 1 331 128 628 929 855 238 252 704 800 518 103 107 626 144 139 537 347 366 869 513 010 101 400 141 136 ;

51.-ik : 13 137 409 069 593 857 497 525 377 357 812 492 863 432 610 817 154 633 578 440 758 867 600 379 744 542 ;

52.-ik : 129 680 033 903 512 052 380 196 112 884 610 654 523 198 355 056 725 294 097 430 545 292 581 882 677 039 ;

53.-ik : 1 280 289 926 004 739 050 000 725 427 495 454 695 967 048 009 565 524 826 700 033 678 150 703 053 688 628 ;

54.-ik : 12 641 935 184 577 641 255 533 059 978 768 166 222 604 226 052 632 163 911 082 496 809 967 778 972 350 058 ;

55.-ik : 124 849 576 434 062 807 535 065 731 957 416 935 775 961 657 461 837 015 642 425 186 001 673 864 666 372 536 ;

56.-ik : 1 233 182 060 396 554 562 367 611 432 642 302 401 097 609 998 763 330 848 084 440 738 432 476 791 786 029 932 ;

57.-ik : 12 182 385 071 085 995 757 961 992 491 257 961 588 650 088 081 490 206 227 963 657 426 016 652 607 358 992 099 ;

58.-ik : 120 365 186 685 472 378 459 544 969 205 061 695 574 631 337 455 595 559 392 251 825 414 632 548 927 329 480 646 ;

59.-ik : 1 189 409 525 011 077 359 660 422 086 229 669 703 467 341 620 817 612 508 204 108 578 979 685 262 311 249 971 388 ;

60.-ik : 11 754 994 537 641 403 385 843 622 498 522 607 103 954 761 192 715 541 134 878 876 050 606 777 425 855 398 178 100 ;

61.-ik : 116 191 017 841 430 246 977 486 323 085 641 917 284 174 898 930 275 052 731 653 229 187 713 805 004 023 015 499 113 ;

62.-ik : 1 148 630 745 973 171 524 248 353 684 550 175 705 154 216 359 114 166 274 429 935 654 666 223 854 292 184 114 456 176 ;

63.-ik : 11 356 506 958 746 184 993 053 818 924 328 248 069 362 961 261 690 055 363 854 368 053 466 714 627 575 129 270 553 587 ;

64.-ik : 112 296 003 263 552 171 013 583 677 036 401 129 989 883 638 035 522 497 866 658 397 924 766 177 311 539 649 963 378 906 ;

65.-ik : 1 110 549 200 316 552 776 434 148 126 561 500 605 296 193 475 824 513 205 441 057 550 615 369 109 436 869 621 276 855 468 ;

66.-ik : 10 984 090 586 463 262 498 267 172 567 171 166 494 044 253 319 363 046 040 441 078 687 877 052 288 968 116 044 998 168 945 ;

67.-ik : 108 653 086 068 396 132 424 783 308 603 970 415 330 380 823 613 077 028 062 801 065 999 565 253 150 649 368 762 969 970 703 ;

68.-ik : 1 074 906 231 905 711 445 956 804 671 369 405 514 240 976 223 456 819 262 785 932 878 045 969 118 829 816 579 818 725 585 937 ;

69.-ik : 10 635 271 506 109 231 060 505 134 777 171 110 160 991 087 616 669 931 430 884 998 846 408 961 981 069 296 598 434 448 242 187 ;

70.-ik : 105 238 592 955 129 266 751 251 291 674 314 564 884 771 751 093 937 527 422 872 424 409 661 107 347 346 842 288 970 947 265 625 ;

71.-ik : 1 041 475 198 695 292 011 590 705 720 616 556 439 873 084 505 339 949 270 424 915 184 207 748 097 833 245 992 660 522 460 937 500 ;

72.-ik : 10 307 878 890 468 120 272 994 729 319 715 807 098 948 364 503 372 725 686 433 653 002 893 606 753 787 025 809 288 024 902 343 750 ;

73.-ik : 102 031 721 744 360 038 361 307 651 679 418 590 561 646 732 975 007 931 254 474 158 322 409 493 848 681 449 890 136 718 750 000 000 ;

74.-ik : 1 010 056 672 267 011 499 221 102 682 037 317 879 320 813 204 558 775 254 618 407 934 970 036 876 620 724 797 248 840 332 031 250 000 ;

75.-ik : 10 000 000 000 000 000 000 000 000 001 767 048 427 695 066 444 122 271 986 233 441 154 467 982 414 644 211 530 685 424 804 687 500 000 ;

76.-ik : 99 014 119 257 522 585 316 894 430 371 003 486 014 658 747 707 675 506 485 869 298 956 004 058 709 368 109 703 063 964 843 750 000 000 ;

77.-ik : 980 474 475 459 645 917 761 439 257 605 410 417 546 232 626 167 284 815 964 231 281 526 508 610 113 523 900 508 880 615 234 375 000 000 ;

78.-ik : 9 709 942 964 260 841 184 477 232 172 922 201 098 747 654 809 967 565 269 282 485 651 558 545 214 356 854 557 991 027 832 031 250 000 000 ;

79.-ik : 96 169 531 496 603 778 923 510 021 395 548 265 074 189 163 041 851 928 850 900 499 412 546 196 253 970 265 388 488 769 531 250 000 000 000 ;

80.-ik : 952 572 392 301 424 077 167 160 910 752 820 377 925 776 825 214 226 211 681 334 266 501 153 251 738 287 508 487 701 416 015 625 000 000 000 ;

81.-ik : 9 436 205 819 561 273 798 717 244 932 442 755 789 992 830 030 789 750 135 611 360 093 434 996 088 035 404 682 159 423 828 125 000 000 000 000 ;

82.-ik : 93 483 512 085 110 333 082 312 192 523 107 762 376 202 840 639 743 193 041 494 295 769 666 678 097 564 727 067 947 387 695 312 500 000 000 000 ;

83.-ik : 926 211 420 889 450 870 159 198 054 631 921 257 480 922 010 197 970 598 716 077 361 700 627 079 699 188 470 840 454 101 562 500 000 000 000 000 ;

84.-ik : 9 177 450 610 003 030 783 906 335 077 533 245 222 073 196 082 435 218 422 918 010 716 671 233 240 049 332 380 294 799 804 687 500 000 000 000 000 ;

85.-ik : 90 943 177 961 262 919 906 054 383 365 488 044 365 411 045 090 191 071 490 343 110 994 558 628 590 311 855 077 743 530 273 437 500 000 000 000 000 ;

86.-ik : 901 267 467 532 102 218 563 974 394 807 266 184 825 213 757 301 126 454 510 309 393 697 298 219 194 635 748 863 220 214 843 750 000 000 000 000 000 ;

87.-ik : 8 932 481 611 960 843 838 187 228 675 419 596 944 559 949 570 784 280 776 375 441 135 428 445 704 746 991 395 950 317 382 812 500 000 000 000 000 000 ;

88.-ik : 88 537 003 628 353 147 008 116 418 029 765 534 303 989 319 148 193 884 272 124 432 044 392 960 960 976 779 460 906 982 421 875 000 000 000 000 000 000 ;

89.-ik : 877 629 401 658 228 441 611 751 019 022 058 249 941 466 559 454 521 711 644 559 012 199 806 602 438 911 795 616 149 902 343 750 000 000 000 000 000 000 ;

90.-ik : 8 700 226 936 252 561 289 425 156 172 736 750 775 345 720 750 188 438 464 764 462 132 450 262 288 330 122 828 483 581 542 968 750 000 000 000 000 000 000 ;

91.-ik : 86 254 647 048 196 132 774 584 308 404 007 854 657 340 679 586 344 407 703 268 899 467 730 079 777 538 776 397 705 078 125 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

92.-ik : 855 197 407 345 970 964 846 553 711 781 219 874 157 386 034 008 962 753 458 216 177 193 662 588 251 754 641 532 897 949 218 750 000 000 000 000 000 000 000 ;

93.-ik : 8 479 722 912 439 634 450 094 011 675 998 893 311 794 555 849 044 525 367 569 358 209 607 344 178 948 551 416 397 094 726 562 500 000 000 000 000 000 000 000 ;

94.-ik : 84 086 801 644 599 495 403 720 763 917 453 341 759 217 348 794 848 596 871 265 300 478 626 159 019 768 238 067 626 953 125 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

95.-ik : 833 881 580 031 182 593 049 951 264 300 345 057 123 542 867 775 093 452 749 335 387 608 198 288 944 549 858 570 098 876 953 125 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

96.-ik : 8 270 100 776 714 763 474 620 983 639 935 013 576 391 556 452 438 479 692 806 927 445 758 446 992 840 617 895 126 342 773 437 500 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

97.-ik : 82 025 069 962 111 405 570 864 423 019 972 664 125 338 579 732 584 485 572 355 337 268 390 940 153 039 991 855 621 337 890 625 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

98.-ik : 813 600 726 900 153 209 258 957 533 325 863 436 612 725 274 307 334 789 869 461 388 889 249 064 959 585 666 656 494 140 625 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

99.-ik : 8 070 575 276 612 155 783 742 683 177 080 629 517 795 883 812 469 892 332 891 463 482 269 500 673 282 891 511 917 114 257 812 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

100.-ik : 80 061 855 372 926 987 395 471 532 406 417 367 337 486 698 466 708 634 740 890 415 670 833 135 663 997 381 925 582 885 742 187 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ;

Bocsi, nem jó mind, kerekítési hiba miatt. :(

A lényeg hogy van megoldás.

"A számaid nem jók, az 1. kivételével.

Csak kb az első 28 számjegyük jó, de ha pontosak is lennének, akkor sem megoldások, a 25. kivételével, nálam 52-es:"

...

"Csak az 52. megoldás, mert a törtrésze kicsi, 1-2 század."

A hiba az volt hogy (alapértelmezett) 28 jegy precizitáson volt a srcipt amivel generáltam, ezt nem vettem figyelembe.

A többi részét nem értem amit írtál. Először írod hogy az 1.-ik kivételével nem jók ... Majd írod hogy csak az 52.-ik megoldás.