Legyen A=1! +2! +3! +. +2005! Lehet-e hogy: a) A két egymást követő szám szorzata, n eleme N; b) A prím; c) A öt szomszédos természetes szám összege; d) négyzetszám?

c) Legyen az 5 számunk x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2, ezek ugye egymást követő számok, össegük pontosan 5x, így az a kérdés, hogy ez a szám osztható-e 5-tel.

A helyzet ugyanaz, mint a b) feladatnál; 5!; 6!; ... 2005! mind osztható 5-tel. Az előbb úgy írtam, hogy nézzük a maradékokat, de úgy is lehet, hogy összeadjuk a számokat, és ha összegük osztható 5-tel, akkor az egész szám osztható 5-tel, mivel ha 85-tel osztható számokat adunk össze, akkor az összeg is -tel osztható lesz:

1!=1

2!=2

3!=6

4!=24, összegük: 1+2+6+24=33, ami nem osztható 5-tel, tehát A nem írható fel 5 egész szám összegeként.

d) Ha megnézzük a négyzetszámokat, akkor 0-ra, 1-re, 4-re, 5-re, 6-ra vagy 9-re végződnek. Ha van egy kis szerencsnék, akkor a fenti összeg nem ezkre végződik, így biztosan nem négyzetszám.

Mivel 5! ; 6! ; ... ; 2005! mind osztható 10-zel, ezért ezek 0-ra végződnek, így összegük is 0-ra végződik. Nézzük, hogy 1!-4!-ig mikre végződnek a számok:

1!=1, 1-re végződik

2!=2, 2-re végződik

3!=6, 6-ra végződik

4!=24, 4-re végződik

Így ezeknek az összege 1+2+6+4=13, vagyis a szám 3-ra végződik, így az A szám is 3-ra végződik. Mivel 3-ra négyzetszám nem végződik, ezért az A szám nem négyzetszám.