Ha a Földdel egy hasonló méretű bolygó ütközne, az ütközés pillanatában melyik bolygó gravitációs ereje hatna a lakókra?

Valójában egyik megoldás sem helyes.

Közvetlenül az ütközés előtt, amikor a két bolygó már majdnem összeér, akkor az érintkezési pontnál álló megfigyelő a normál gravitáció 1/4-ét fogja érezni mint súlyerőt, a Föld átellenes pontján álló megfigyelő pedig a 31/36-odát.Tehát mindkét oldalon kevesebbet fog mutatni a mérleg, de nem nullát.

A dolog magyarázat az, hogy nem csak a két bolygó gravitációs terét kell figyelembe venni, hanem azt is, hogy az ütközésig a két bolygó (és így a rajtuk lévő megfigyelők is) folyamatosan gyorsul egymás felé. Ehhez a gyorsításhoz is erő kell.

Amúgy jó feladat.

Hogy mennyi zöldség össze lett itt hordva, már elnézést…

Gravitációs erő két – pontszerű – test között kiszámítható: F = G * m1 * m2 / r²

Mikor helyettesíthető egy test egy a tömegközéppontjába helyezett pontszerű tömeggel? Ha a test köré írható gömbön kívül nézzük. Ha nem ez a helyzet, akkor is ki lehet számolni persze a gravitációs erőt, maximum kicsit összetettebben, fel kell osztani pontszerűnek tekinthető tömegekre, és ezek erőit kiszámolva meg lehet nézni az eredő erőt.

#1> Az ütközés pillanatában "egyesül" a két bolygó…

Mi az, hogy egyesül? Ha a két bolygó azonos tömegű és méretű, akkor az ütközés pontjában nulla a gravitációs erők eredője. Ha máshol vagy, akkor ki kell számolni a két bolygónak az adott pontban lévő tömegre ható gravitációs erejét és venni az eredőjét.

#5> valójában a túloldali lakókra hatna a 2G.

Nem. 2*g biztos, hogy nem, mert a másik bolygótól jóval messzebb lennél. A földön mondjuk egy 1 kg-os testre nagyjából 10 N erő hat. Ha a Föld túloldalán lenne még egy bolygó, azonos tömeggel, és mérettel, akkor annak tömegközéppontjától 3-szor annyi távolságra lennél, tehát a gravitációs erő a kilencede lenne, mintha a felszínén állnál. Azaz 11,11 N erő hatna, mondjuk úgy 1,11 g-nek megfelelő erő.

#6> Közvetlenül az ütközés előtt, amikor a két bolygó már majdnem összeér, akkor az érintkezési pontnál álló megfigyelő a normál gravitáció 1/4-ét fogja érezni mint súlyerőt

Miért is? A két bolygó ha ugyanakkora, akkor az ütközés pillanatában az ütközési pontból nézve egy teljesen szimmetrikus állapot lenne, ugyanúgy lennél az egyik, mint a másik bolygó felszínén. Akkor miért lenne a Föld által ható gravitációs erő nagyobb, mint a másik bolygó esetén? Mindkettőnek azonos a tömege, azonos távolságra vagy a tömegközéppontjától, tehát a két bolygó ugyanakkora nagyságú, de pontosan ellentétes irányú gravitációs erőt fejtene ki.

> A dolog magyarázat az, hogy nem csak a két bolygó gravitációs terét kell figyelembe venni, hanem azt is, hogy az ütközésig a két bolygó (és így a rajtuk lévő megfigyelők is) folyamatosan gyorsul egymás felé. Ehhez a gyorsításhoz is erő kell.

Ez meg aztán végképp értelmezhetetlen. A két bolygó között van gravitációs vonzóerő. Ez szépen kiszámítható a két bolygó tömegéből, távolságukból. Hogy egy harmadik testre az egyik, vagy a másik bolygó milyen erővel hat, az ettől tökéletesen független. Ha nem tévedek – a relativisztikus hatásoktól eltekintve – két test között még mindig F = G * m1 * m2 / r² képlettel számoljuk a gravitációt. Nem rémlik, hogy ezt a fizikai törvényt hatályon kívül helyezte volna az országgyűlés. ;-)

Még egy kis kiegészítés:

#1> Az ütközés pillanatában "egyesül" a két bolygó…

Gondolom arra gondoltál, hogy innentől kezdve a két bolygó egy test, így egy pontszerű tömegközépponttal helyettesíthető, és mivel dupla a tömege, ezért dupla az erő is. De egyrészt ezzel a tömegközéppont is máshova kerül, és ez nem mindegy, másrészt ez a helyettesítés – mint írtam – csak akkor tehető meg, ha a két test által meghatározott gömbön kívülről nézzük.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Még egy kis számolgatás. Ha minden lezajlott, a két bolygó összeütközött, megolvadtak, egy nagy gömbbé álltak össze, majd megszilárdultak, akkor sem kétszerese lesz a gravitációs erő, mivel a bolygó térfogata, így sugara is nőtt, ergo messzebb került a felszín a tömegközépponttól. Az új bolygó sugara meghatározható a gömb térfogatából (ha a sűrűséget azonosnak vesszük, ami nem feltétlenül igaz, valószínű kicsit sűrűbb lesz, de most a példa kedvéért tekintsük így, nem fogunk nagyot tévedni):

V = 2*v

(Ahol a V az új bolygó térfogata, a v meg a régi bolygók térfogata.)

4/3 * R³ * π = 2 * 4/3 * r³ * π

(Ahol az R az új bolygó sugara, r meg a régi bolygó sugara.)

Egyszerűsítés után kijön, hogy:

R³ = 2 * r³

R = köbgyök(2) * r = 1,26 * r

Oké, tehát dupla akkora erő, köbgyök(2)-szor akkora sugár:

F = G * M1 * m2 / r² = G * (2*m1) * m2 / (köbgyök(2) * r)² = 2 / köbgyök(2)² * [ G * m1 * m2 / r² ] = 2 / köbgyök(3)² * f

Ahol M1 az új bolygó tömege, m1 a régi bolygók tömege külön, f meg a régi gravitációs erő. Tehát a gravitációs gyorsulás 2 / köbgyök(2)²-szeres lesz, ami kb. 1,26 g-nek felel meg.

Persze be is lehet helyettesíteni a képletbe, ugyanúgy kb. 12.37 N jönne ki, de így levezetve kicsit elegánsabb.

Süsü:

Igazad van abban, hogy az ütközéskor a két bolygó gravitációs ereje pontosan egyenlő (a köztük álló megfigyelőre nézve), de én úgy éreztem, a kérdező inkább arra kíváncsi, hogy vajon mit éreznénk, mi történne velünk, elszakadnák-e a talajtól, változna-e az érzékelt súlyunk. Ha pedig ezt kiszámolod, nem az a válasz jün ki, mint ami első látásra adódna.

A te gondolatmebetedből az jönne ki, hogy ilyenkor igen, a két bolygó közt álló személy súlytalanná válna és elkezdene lebegni. Ami nem igaz. Hanem az igaz, hogy ilyenkor is érezné a súlya egy részét, pontosan a negyedét, amit a mérleg ki is mutatna.

Ennek a kiszámításához pedig tényleg figyelembe kell venni a gyorsulást, számold ki, és meg fogod látni, nem nehéz.