Hogyan kell ezt a fizikafeladatot megoldani?

„nem csak csupán Google és Wikipédia meg nem tom milyen linkeket”

Mert a GyK-linkek olyan megbízhatóak, ugye?

Mivel mindig ugyanazt az oldalát mutatja a Föld felé, ezért sosem kel fel rajta a Föld.

Két napfelkelte között meg majd valaki kiszámolja neked, én most lusta vagyok, amúgy 29,5 napnak kell kijönnie.

Jól van, látom mások is lusták…

Na, feladatkitűző elfelejtette megemlíteni, hogy ez a 27,3 nap nem a Hold szinodikus keringési ideje, hanem az álló csillagokhoz viszonyított keringési ideje. Ekkora időközönként mutat a Föld–Hold-vektor ugyanarra a távoli csillagra. A szinodikus az lenne, hogy mekkora időközönként van telihold, azaz mekkora időközönként süti a Nap a Hold Föld felőli oldalát, ami mindig ugyanaz, így ekkora időközönként van dél, illetve napfelkelte is a Holdon. Ezt a szinodikus keringési időt fogjuk kiszámolni.

Hogy a fenti állításaim igazak legyenek, meg hogy tudjunk kezdeni valamit a problémával, – a feladatban adottakon kívül – a következő közelítéseket és adatokat használjuk.

– A Föld és a Hold körpályán kering a Nap illetve a Föld körül.

– A Hold pályasíkja a Föld pályasíkjába esik.

– A Föld Nap körüli keringési ideje 365,3 nap.

Rögzítsünk egy derékszögű koordináta-rendszert és válasszunk t = 0 időpillanatot úgy, hogy az xy-sík a Föld pályasíkjával egyezzen, a Nap, a Föld és a Hold ebben a sorrendben illeszkedjen egy egyenesre, és az x-tengely legyen a Nap–Föld-egyenes ilyen irányítással. Az y-tengely irányát válasszuk úgy, hogy a Föld keringési iránya pozitív legyen. (Na, leírtam, amit normális ember lerajzolni szokott. Annyit te is csinálj meg, hogy lerajzolod a koordináta-rendszert.)

Ebben a koordináta-rendszerben a Nap–Föld-vektor az idő függvényében következő:

a = (R*cos(Ωt), R*sin(Ωt)),

ahol Ω a Föld szögsebessége a nap körül, 2π/(365,3 d), és R a Nap–Föld-távolság.

A Föld-Hold-vektor

b = (r*cos(ωt), r*sin(ωt)),

ahol ω a Hold szögsebessége a Föld körül, 2π/(27,3 d), és r a Föld–Hold-távolság.

Nekünk az kell, hogy mekkora időközönként van telihold (dél a Hold Föld felé eső oldalán), azaz mikor mutat egy irányba az a és b vektor. A skaláris szorzat geometriai definíciója szerint

a*b = |a|*|b|*cos(α),

ahol α a két vektor által bezárt szög, ezt szeretnénk, hogy 0 legyen, azaz cos(α) = 1. a-t és b-t helyettesítve

(R*cos(Ωt), R*sin(Ωt))*(r*cos(ωt), r*sin(ωt)) = R*r*1,

a skaláris szorzás algebrai definícióját is alkalmazva

cos(Ωt)*cos(ωt) + sin(Ωt)*sin(ωt) = cos(Ωt)*cos(-ωt) - sin(Ωt)*sin(-ωt) = cos((Ω - ω)t) = 1.

A koszinusz akkor lesz 1, ha az argumentuma 2π-nek többszöröse, azaz

(Ω - ω)t = 2πn, ahol n egész szám.

t = 2πn/(Ω - ω),

ez akkor lesz a lehető legkisebb pozitív szám, ha n = -1, tehát a Holdon

T = 2π*(-1)/(Ω - ω) = 2π*(-1)/(2π/(365,3 d) - 2π/(27,3 d)) ≈ 29,5 d

időközönként van napfelkelte.

A felhasznált adatok közül kimaradt, hogy a Hold keringési iránya a Földével azonos, és elfelejtettem megemlékezni a z-tengelyről, hogy az most nem kell, úgy is síkban dolgozunk.

A 365,3 nap az természetesen a Föld állócsillagokhoz képest viszonyított keringési ideje (ekkora időközönként mutat a Nap–Föld-vektor ugyanazon távoli csillag felé). Forrás: [link]

Ez a pdf nekem tetszik, de ez még jobban túl mutat a középiskolás anyagon, mint az a vektorszámítás, amit leírtam… Ha jól értem, ez minden mérési eredményt figyelembe véve számol, hirtelen nem is találom benne a gondolatmenetedet.

Amúgy az tök jó, ahogy kihoztad azt a 2,04 napot. Csak annyi a gond vele, hogy közelítő eredmény. Kicsit csináld tovább, amit elkezdtél, mutatom, hogy hogyan:

Butuskán azt lehetne mondani („nullad rendű közelítés”) hogy a Hold 27,3 nap alatt kerüli meg a Földet, így ekkora időközönként mutatja ugyanazt az oldalát a Nap felé. De te rájöttél, hogy eközben a Földis megy valamennyit a Nap körül.

27,32 nap alatt a Föld (27,32 nap)/(365,26 nap) = 0,074796 részét teszi meg a pályájának (a két tizedes jegyre pontos adatokat Wikiről szedtem), tehát a Holdnak még legalább pályája ennyied részét kell megtennie a Föld körül, hogy ismét szembe kerüljön a Nappal, azaz kell még neki 0,074796*(27,32 nap) = 2,04343 nap. (Eddig jutottál te, ez az „első rendű közelítés”.)

Csakhogy ezalatt a 2,04343 nap alatt a Föld még megteszi a pályájának (2,04343 nap)/(365,26 nap) = 0,00559 részét, ennyit a Holdnak még 0,00559*(27,32 nap) = 0,15284 nap megtenni. Így már egy „másod rendű közelítésünk” is van, eszerint a Holdon átlagosan (27,32 nap) + (2,04 nap) + (0,15 nap) = 29,51 naponta van napfelkelte.

Hogy lássuk, hogy már csak apróságok jönnek ehhez hozzá, még egy harmadrendű közelítést is csinálunk. Ezalatt a 0,15284 nap alatt a Föld a pályájának (0,15284 nap)/(365,26 nap) = 0,00042 részét teszi meg, ez azt jelenti, hogy a 29,51 naphoz még hozzájönne 0,00042*(27,32 nap) = 0,011 nap, de ez már a 0,1-es pontosságon belül van.

Ezt a végtelenségig kéne csinálni, hogy teljesen pontos eredményt kapjunk, és kicsit mértani sorozni kéne, hogy matematikailag korrektül belássuk, hogy a 29,5 nap az már 0,1 napnál kisebb hibával a keresett érték, de ha nem muszáj azzal már nem fárasztalak (illetve magamat nem fárasztom a végiggondolásával és elmagyarázásával…).

Szóval összességében dicséret, mert találtál egy értelmes pdf-fájlt, és mert jó úton indultál el az én megoldásomtól függetlenül.