Rac. Tört függvények integrálásánál miért így szedjük szét a nevezőt?

Ha x a 3.-on, 4.-en van, akkor teljesen másképp kell szétbontani, de akkor már nem szokás, hanem más integrálási módszereket kell alkalmazni.

Ezek a tipikusak, amit írtál, még esetleg a nevezőt külön is hatványozzuk.

Lehet persze jó bonyolultat csinálni, de azt megoldani sem könnyű (esetleg elemien nem is lehet).

abban amit te leírtál, a második tagban azért van a számlálóban harmadfokú polinom, mert a nevező negyedfokú ugye (t^2)^2=t^4, harmadik tagban meg hatodfokú (t^2)^3=t^6, ezért a számlálók 3. illetve 5.fokúak.

Az, hogy szétszedésnél mi lesz a nevezőben, az eredeti nevezőtől függ.

Első lépés egy tört felbontásánál, hogy a nevezőből a polinomot minél kisebb fokú polinomok szorzatává alakítjuk, pl. képlettel (ld. a^2+b^2=(a+b)(a-b) vagy a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=(a+b)(a+b) meg hasonlók vannak 3. hatványra is, meg lehet használni Newton binomiális tételét nagyobb hatványok estében). Más módszer a szorzatra bontásra a polinom gyökeinek megkeresése, és a P(x)=a(x-x1)(x-x2)(... (P(x)-polinom, a-főegyüttható, x1,x2,..-a polinom gyökei) egyenlettel felírni.

Miután felírtad az eredeti törtet olyan formában, hogy a nevező szorzat legyen jön a második lépés, a "szétszedés": felírsz annyi tagot, ahány tényezője van ennek a szorzatnak, majd a nevezőkbe beírod ezeket a szorzótényezőket, számlálókba pedig eggyel kisebb fokú polinomokat általános alakban. Ha valamelyik ilyen tényező a szorzatban második, harmadik ... hatványon van, akkor 2,3,... külön tag lesz a szétszedésnél is, mert minden hatványon külön kell megjelenjen - (természetesen, mikor végül meghatározod az ismeretleneket, akkor ezek közül lehet egy csomó nulla, s nem feltétlenül marad a végső felbontásban annyi tag, mint eleinte felírsz általánosan). Erre pl. az amit te elkezdtél írni utoljára, abban az esetben már a kiinduló tört nevezője szorzat formában van, majd felír 7 tagot, mert a 7. hatványon van a szorzótényező.

Így már tiszta? Ha van még kérdésed, szólj, mert követem a kérdésed :)

Mert szerintem még parciális integrálással is könnyebb, minthogy azt törtekre bontani.

De persze tiszteletben tartom más megoldási módszerét is, és örömmel várom, hogy milyen pearciális törtek jönnek ki abból.

Na szóval. Annak idején gimnáziumban amikor ezt beverték a fejembe (több mint 4 éve, s azóta nem is használtam talán ezt a módszert :)) nem kaptam magyarázatot arra, hogy ezt miért kell így pontosan, viszont logikusan gondolkozzunk. Jól mondod, hogy a nevezőt fel lehet úgy is írni, hogy 7-szer egymás után ugyanazt a kifejezést. Nos, ha ezt úgy szednénk szét, hogy minden tört nevezőjébe egy egy kifejezést teszünk, akkor lesz 7 törtünk, aminek közös a nevezője. Ezeket ugye össze lehet simán vonni (összeadni, kivonni), és végül kapnánk egy olyan törtet, aminek a nevezője az eredetinek a 7-ed fokú gyöke (mármint a kifejezés ami volt, de nem a hetediken hanem az elsőn), a számlálója meg egy első fokú polinom. Gondolom belátod, hogy ez már teljesen más lenne, mint az eredeti tört. :)

A másik dolog meg, hogy mivel az eredeti tört számlálója egyenlő 1-gyel (és nem egy 13-fokú polinom), következik, hogy amikor az egyenletrendszert felírod lesz egy rakás 0, s a szabadtag lesz 1. Most nincs kéznél papír és toll, hogy kíváncsiságból megoldjam, de gondolom neked megvan a teljes megoldás. Lehet, hogy valójában nem is olyan bonyolult (pl. ha a beszorzásoknál nem tartod meg, csak azokat a tagokat, amelyekben nem szerepel x valamelyik hatványa, lehet az is elég a megoldáshoz). Remélem elég érthető voltam :).