Hogy is van ez a deriváltakkal?

Matematikai bizonyítás nélkül képzelj el egy nyeregfelületet. Amikor az egyik koordináta mentén minimumhely van, a másik mentén maximumhely. Ekkor mindkettő parciális derivált 0, mégsincs szélsőérték. Konyhanyelven: egyik metszetben alul van a púp, a másikban felül. Ezért kell a második deriváltakat is hozzávenni.

Az alábbi kép jobb oldali ábrája. [link]

Pedig a kérdésre válaszoltam.

Amikor te egy dimenziós esetet nézel, akkor is a determináns dönti el, egy 1x1-es mátrix determinánsa a mátrix egyetlen elemének értéke.

"Ha parciálisan deriválom a kétváltozós függvényt, és megfeleltetem nulllának egy egyenletrendszer segítségével, megkapom azt a két pontot, ahol az x és az y érték is nulla. De ez nem feltétlenül szélsőérték. Miért nem?"

Adtam példát egy olyan esetre, ahol van olyan pont, amelyre az egyenletrendszer teljesül és mégsem szélsőérték. Ahhoz, hogy szélsőérték legyen, az kell, hogy minden vetületben szélsőérték legyen és egyformán vagy maximum, vagy minimum. Egy dimenziós esetben sem elég, hogy 0 az első derivált! Ott is kell a második! Több dimenzióban is kell. Vagyis a parciálisok között kell egy további összefüggés, mely a parciális szélsőértékek és azok környezetét összefogja úgy, hogy azok a függvény szélsőértékei legyenek.

De tessék, kb. 15 mp googleozással találtam irodalmat: [link]