Határozatlan integrálás esetén miért jön be egy integrálási konstans?

Grafikusan a legszemléletesebb:

A határozatlan integrál végeredménye párhuzamos görbesereget ad. (Integrálgörbéknek nevezzük ezeket).

Mivel párhuzamosak, ezért egy tetszőleges x0-pontban minden párhuzamos görbéhez azonos meredekségű érintő tartozik (ami persze a derivált).

Ennek egyébként különösen a diffegyenleteknél van óriási szerepe.

A szemlélet kiválóan megvolt, csak a kulcsmondat nem hangzott el még.

Egy f(x) függvény határozatlan integrálja nem egy darab függvény, hanem függvények halmaza. Azon függvények halmaza, melyeknek a deriváltja f(x) - de ilyen függvényből nem csak egy van. És emellé jön az a tény, hogy ezek a függvények csak egy konstans tagban térhetnek el egymástól, vagyis 1 darab függvénnyel egyértelműen meg tudod adni az egész halmazt.

Tehát amikor azt írod, hogy 3x^2 határozatlan integráltja x^3+c, az azt jelenti, hogy x^3, x^3+1, x^3+2, x^3+gyök(pi), stb... mind együttesen alkotják ezt a halmazt. De mivel ezen függvények közül általában csak egyre van szükség, pl. az x^3-re mert az a legegyszerűbb, ezért szoktuk úgy kezelni, hogy a határozatlan integrálásnak is csak egyetlen eredménye van, mint a deriválásnak.