Matematika: van két kör, mindkettő középpontja egy egyenesre esik (a nagyobbiké mondjuk az origóra, a kisebbiké pedig az x tengelyen van) a kisebbik kör középpontja pont a másik kör körvonalára esik. R, r?

Él még a kecske?

Eredetileg ez a feladat így hangzott: milyen hosszú kötéllel kell kikötni egy kecskét a kör alakú rét kerületének egy pontjára, ha azt szeretnék, hogy a felét tudja lelegelni. Lehet, hogy a szegény állat már feldobta patáját, nem győzvén kivárni a gazdija döntését a kötél hosszát illetően. :-)

Komolyra fordítva a szót.

Minden elismerésem a #2-es válaszolónak, de ebben az esetben túlzásnak érzem a bevetett eszközöket.

Inkább elméleti, mint gyakorlati a megközelítése, a megoldása pedig csak numerikusan kapható meg.

Engedelmetekkel én inkább maradok a saját megoldásomnál:

sin2α - 2α*cos2α = π/2

Ez az összefüggés a

2α = φ

helyettesítéssel

sinφ - φ*cosφ = π/2

alakú lesz, amit numerikusan - iterációval - szerintem sokkal könnyebb megoldani, mint a #2-es válaszoló egyenletét.

Grafikus megoldást választva a kifejezésben szereplő függvények ábrázolása nem okozhat gondot.

A különféle függvénykezelő programokat inkább ellenőrzésre mint egy feladat megoldására szoktam használni. Esetünkben a WolframAlpha szerint a megoldás az első pozitív gyök, ami

φ = 1.90569572930988 [rad]

ez csak az 5-ik tizedesben tér el a rajzomon látható megoldástól. (Úgy rémlik, 8 lépéssel értem el)

Amúgy aktív koromban gépészmérnökként és programozóként dolgoztam, egy ideje meg aktív nyugdíjasként próbálom megmenteni a szegény állatot az éhenhalástól. :-)

U.i.: Változatlanul kíváncsi vagyok azon illetőnek az iterációtól eltérő megoldására, aki a feladatot adta.

DeeDee

**********

Vajon mit értett DeeDee azon, hogy az én megoldásom elméleti, és nem elég gyakorlati? Maga a feladat tisztán elméleti ugyanis. :) Newton-Raphson iterációval valószínűleg megoldható.

DeeDee megoldásában a területszámítás más módon történik, ezért a kapott egyenlet egyszerűbb alakú, de ezt ugyanúgy csak numerikusan lehet megoldani, hiszen transzcendens. A lényeg, hogy a tanár álmodott, amikor azt hitte, hogy itt létezik analitikus megoldás.

"(hacsak nem valami nagyon speciális esetben, de ilyen most nem jut eszembe)"

sin x = x

Az utóbbihoz:

sinx=(2/Pi)*x

sinx=(2/Pi)*x

Annak van csúnya gyöke is! :)

Egyébként lehet ezt csűrni csavarni, de igazatok van: általában ilyen egyenleteket csak numerikusan lehet megoldani, olyan értelemben, hogy aki ilyen egyenlettel fut össze egy feladat kapcsán, az valószínűleg nem egy speciális eset lesz.

De ez már csak a tapasztalatom, nem matematika.