Matematika: van két kör, mindkettő középpontja egy egyenesre esik (a nagyobbiké mondjuk az origóra, a kisebbiké pedig az x tengelyen van) a kisebbik kör középpontja pont a másik kör körvonalára esik. R, r?

Pedig ezt így a legegyszerűbb, maximum a változók megválasztásával lehet egyszerűsíteni a számolást.

Én úgy csinálnám: legyen R=1, és legyen t két kör metszéspontjainak x koordinátája. Ebből paraméteresen kiszámolom r-t, az integrálokat, aztán megoldok a-ra egy egyenlet(rendszer)t, majd megadom belőle r-et.

(Megjegyzés: valójában r nagyobb lesz, mint R, hiszen a kis kör területének csak a bal félkörlapja metszi a nagy kört (amennyiben a kis r sugarú kör középpontja a nagy R sugarú körön van). Tehát ha a metszet a "nagy" kör területének fele, akkor a "kis" körlap fele magába foglalja a nagy kör területének felét.)

Integrálás nélkül is meg lehet oldani a feladatot, de tény, hogy vagy numerikusan oldod meg, vagy grafikusan - mindkettőhöz számítógép kell.

Legyen R=1 és az R sugarú kör középpontja az origó. A másik kör legyne eltolva R-rel a pozitív x tengely irányában. Továbbá legyen a két kör egyik metszéspontja (x0,y0). Ekkor ez a pont két kör egyenletét is kielégíti:

x0^2+y0^2 = 1

(x0-1)^2+y0^2 = r^2

Ezekből máris adódik, hogy r=gyök(2*(1-x0)). Ezen kívül felírhatunk még egy egyenletet a területekre. Az egyenlet alapja az az észrevétel, hogy a nagy kör középpontjából az (x0,y0) ponthoz és a vele szemben lévő másik metszésponthoz húzott R=1 hosszúságú sugarak egy körcikket jelölnek ki. Ha ezekből levonjuk a metszéspontok és a két körközépppnt által meghatározott négyszög területét (ez két háromszög területének az összege), akkor megkapjuk azoknak a körszeleteknek a területét, amelyek az előbbi körcikkely külső peremén vannak. A maradék területhez még hozá kell adni a r sugarú kör középpontjából felírt körcikkely területét. Összességében tehát:

tc-th+Tc = T/2 = pi/2,

ahol

tc: az R=1 sugarú kör középpontjából a metszéspontokhoz húzott sugarak által kijelölt körcikk területe;

th: ugyanezen középpontból azoknak a háromszögeknek a területösszege, amelyek nem tartalmazzák a kis kör középpontjából a metszéspontokhoz húzott sugarak által az R=1 sugarú körből lemetszett körszeleteket;

Tc: a kis kör középpontjából a metszéspontokba húzott sugarakkal felrajzolt körcikk területe;

a pi/2 pedig az R=1 sugarú kör területének a fele.

A legjobb, ha az egészet lerajzolod.

Kis gondolkodás után adódik hogy

tc = arccos(x0)

th vektoriális szozattal könnyen kiszámítható és nagyon egyszerű: th = y0

Tc = r^2*arccos((1-x)/r)

Ezt és r fenti x0-lal kifejezett értékét behelyettesítve csak x0 lesz az ismeretlen. Ezt vagy numerikusan oldod meg, vagy ábrázolod az egyenlet mindkét oldalát, ahogy én is tettem.

Nekem kb. x0 = 0,3287 és r = 1,1587 adódott. Eszerint r kb. 15-16%-kal nagyobb, mint R.

Az előző válaszolót igazolandó egy rajzos megoldás:

[link]

Ha kéred, elküldhetem a teljes levezetést is.

DeeDee

**********

Érdekelne, hogyan oldja meg az illető iteráció nélkül a feladatot! Komolyan" Megírnád a megoldást?

DeeDee

*******

Nekem szólt a kérdés a két kifejezést illetően?

Nem igazán értem, mit nem értesz. :-)

Arra azért még mindig kíváncsi vagyok, hogy oldod meg numerikusan.

Most jut eszembe, felmerült még régebben a sorbafejtés, de nagyon macerás lett volna.

DeeDee

***********

Sziasztok! Én a 2-es válaszoló vagyok, és elnézést, ha tömören fogalmaztam meg sok mindent, és nem akartam szájba rágni. :)

A megoldandó egyenlet transzcendens, csak numerikusan tudod megoldani. Vagy, ahogy írtam is, ábrázolod mindkét oldalát egy erre alkalmas matematikai programmal (nekem a Derive a kedvencem mert nagyon egyszerűen használható), és a metszéspont x koordinátája lesz a megoldás x-re.

A th = y0 egyenlet is egyszerűen kijön. Mint írtam, az két kör egyik metszéspontjának koordinátái (x0,y0). DeeDee rajzán ez a B pontnak felel meg. Ez már egy vektor, három dimenzióban (x0,y0,0). Ugyanezen a rajzon a th terület az O1B'O2B négyszögnek felel meg. Ezt át lehet darabolni úgy, hogy az O1B'O2 háromszöget a BO2 oldalhoz tesszük át, így egy paralelogrammát kapunk, amelynek egyik csúcsa az origó, azaz O1 pont. Mint tudjuk, a paralelogramma területe az oldalaiból alkotott vektorok vektoriális szorzatának abszolút értéke. Az egyik ilyen oldal maga az O1B vektor, azaz az iménti (x0,y0,0) vektor. A másik pedig az O1O2 vektor, ami koordinátás alakban (1,0,0). A két vektor vektoriális szorzatának csak z irányú komponense lesz, ez pedig 1*y0-0*x0=y0. Mivel y0 pozitív, az abszolút érték ugyanennyi.

Az egyenlet, amit végül x0-ra meg kell oldani:

arccos(x0) - gyök(1-x0^2) + 2*(1-x0)*arccos(0,5*gyök(1-x0)) = pi/2

Ez elég ronda, hiszen egy ismeretlen mennyiség inverz trigonometrikus függvényeit és magát az ismeretlent "natúr alakban" is tartalmazza, ezért analitikusan nem hiszem, hogy meg lehet oldani.

Én egyébként fizikus vagyok de mérnökként dolgozom.