Hogy lehet megoldani ezeket a határérték feladatokat?

Az első megoldása elég egyszerű. Mivel -2/3 abszolútértéke kisebb,mint 1 ezért minél többször szorozzuk össze önmagával annál kisebb lesz, tehát az első a 0-ba tart.

A második végtelenbe tart, mert ha a törtet elosztod n-nel, akkor kiderül, hogy az 4-hez tart (tehát n+4 nagyobb, mint n+1), ezt végtelenszer összeszorozva monoton nő, így tart a végtelenbe.

A harmadik ha jól értem így néz ki: (1-4/(3n))'(5n). Ez az e-be tartó függvények egyik mintafeladata ( [link] (1∞ alakú határértékek).

Ez alapján a megoldás e'(-20/3), tehát e a (-20/3)-dikon.

A matematikában vannak bizonyos szabályok, amelyeket meg kell tanulni (leginkább megérteni!). Fontos tulajdonságuk, hogy egymásra épülnek, ezért ha egy közbülsőt nem értesz meg, a helyzet egyre rosszabb és nehezebb lesz, míg végül feladod.

Minden matematikai feladat megoldása azon alapul, hogy ezeket a szabályokat kell felismerni. Van aki rögtön észreveszi, van aki alakítgat egy kicsit, gyakorlat (meg tudás) teszi, ki miről ismeri fel a kérdéses szabályt.

Itt konkrétan hatványokról van szó. Ilyen esetben rögtön az ugrik be, hogy ha az alap kisebb egynél, akkor a hatvány még kisebb, ha nagyobb egynél, akkor a hatvány még nagyobb. Az első tehát, hogy nézzük az alapot, aztán majd meglátjuk.

Az 1. példában az alap -1 és +1 közé esik, tehát n növelésével az eredmény egyre kisebb. Azaz tart nullához.

A 2. példában az alap egy tört, ahol a számláló mindig nagyobb a nevezőnél, tehát az alap nagyobb egynél. Ebből következik, hogy az eredmény egyre nagyobb, tart a végtelenhez.

A 3. példában, ha n>1, az alap kisebb egynél, és egyre közelebb kerül hozzá (alulról). Vagyis az alap egyhez tart. Tudjuk, hogy 1 akárhányadik hatványa 1, tehát n növekedésével ennek a függvénynek 1-hez kell tartania (alulról).

Tök jó, hogy ennyire nem ért hozzá senki, de azért osztja az észt.

A második e^3-höz tart, ha már levezetni nem tudjátok, legalább próbálnátok ki.

A harmadikkal már nem bajlódom, az előző alapján vezessétek le.

A kérdésben leírt képletek matematikailag nem egyértelműek. Tehát a véleményalkotás előtt szögezzük le, hogy mi a tényleges feladat.

Az 1. egyértelmű.

A 2. pontosan (szerintem) [(4+n)/(1+n)]^n. Azaz egy tört n-dik hatványa, amelyben a számláló és a nevező is egy összeg, mindkettőben az n elsőfokú, és ehhez két különböző egész van adva. Mondjuk n=1 esetén 5/2, n=4 esetén (8/5)^4, n=100 esetén pedig (104/101)^100.

a 3. [1-(4/(3n))^]^5n. Tehát ha n=1, akkor [-1/3]^5=-1/243, ha n=2, akkor (2/3)^10, ha n=100, akkor (74/75)^500.

Most pedig magyarázza már el valaki, hogy kerül ide az "e", a természetes logaritmus alapja!